Matematyka.pl

Proszę o pomoc w wykazaniu poniższej równości:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{2 \pi x^3} } e^{-\frac{(x-1)^2}{2x}}dx=1}\)

Wyrażenie podcałkowe jest funkcją gęstości z rozkładu odwrotnego gaussowskiego ( ... stribution) z parametrami (1,1).

Podstaw: \(\displaystyle{ t = x + \tfrac{1}{x}}\).

Dziękuję za pomoc. Edytowałem post, bo chyba jednak błędnie podałem proponowane podstawienie, tj. \(\displaystyle{ t=\frac{x-1}{\sqrt{x}}}\).

No, to już zależy od tego czym wygodniej jest operować. Zaproponowane przeze mnie podstawienie sprawadza się do obliczenia \(\displaystyle{ \Gamma \left( \tfrac{1}{2} \right)}\), która to wartość jest powiązana z całką gaussowską, ale może być też obliczona innymi sposobami, czasem nawet (wg mnie) prościej.

To chyba jednak jest dla mnie zbyt trudne. Widzę, że trzeba doprowadzić do postaci \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty} x^{-\frac{1}{2}} e^{-x} dx}\), ale jak to z tego podstawienia uzyskać, to nie wiem.

Gdy \(\displaystyle{ t=x+\frac{1}{x}}\), to \(\displaystyle{ x=\frac{t \pm \sqrt{t^2-4}}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ dt=(1-\frac{1}{x^2})dx}\) i nie wiem czy do czegoś do doprowadzi. Proszę o jeszcze jedną wskazówkę.

Patrząc jeszcze raz na to zadanie widzę, że popełniłem błąd. Przepraszam za zamieszanie.
Niestety nie mam już swoich starych notatek, więc nie wiem czemu zaproponowałem takie podstawienie, teraz nie widzę dokąd ono prowadzi.
Z Twojego podstawienia też nic nie potrafię wydedukować dalej.
Jedyne co mi teraz przychodzi do głowy to coś takiego:

\(\displaystyle{ I = \int_0^{+\infty} \frac{1}{x^{3/2}} e^{ - \frac{1}{2} \left( \frac{x-1}{\sqrt{x}} \right)^2 } \; \mbox d x}\)

podstawiamy \(\displaystyle{ t = \frac{1}{\sqrt{x}}}\):

\(\displaystyle{ I = 2 \int_0^{+\infty} \exp \left\{ -\frac{1}{2} \left( t - \frac{1}{t}\right)^2 \right\} \;\mbox d t}\)

Następnie rozważmy całkę gaussowską:

\(\displaystyle{ J = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2} s^2} \;\mbox d s = \sqrt{2 \pi}}\)

podstawiamy: \(\displaystyle{ s = z - \frac{1}{z}}\)

\(\displaystyle{ J = \int_0^{+\infty} \left( 1 + \frac{1}{z^2} \right) e^{- \frac{1}{2} \left( z - \frac{1}{z} \right)^2 } \; \mbox d z}\)

Teraz można pokazać, przez odpowiednie podstawienie (z=1/x), że:

\(\displaystyle{ \int_0^{+\infty} e^{- \frac{1}{2} \left( z - \frac{1}{z} \right)^2 } \; \mbox d z = \int_0^{+\infty} \frac{1}{z^2} e^{- \frac{1}{2} \left( z - \frac{1}{z} \right)^2 } \; \mbox d z}\)

mamy zatem:

\(\displaystyle{ I = J = \sqrt{2\pi}}\)

Całka z zadania to:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} I = 1}\)