Matematyka.pl

To, co mi przychodzi do głowy, to rozkład mianownika na czynniki, a potem standard - czyli ułamki proste. Cóż, jeśli mianownik nie ma pierwiastków rzeczywistych. Ale ma zespolone: równanie \(\displaystyle{ x^5-1=0}\) określa zespolone pierwiastki stopnia 5 z jedynki. Jednym jest 1, a pozostałe to

\(\displaystyle{ z_1=\cos 72^{\circ}+i\sin 72^{\circ}\\
\bar{z_1}=\cos 72^{\circ}-i\sin 72^{\circ}\\
z_2=\cos 144^{\circ}+i\sin 144^{\circ}\\
\bar{z_2}=\cos 144^{\circ}-i\sin 144^{\circ}}\)

(dlaczego - ćwiczenie)

Teraz zauważ, że

\(\displaystyle{ (x-z)(x-\bar{z})=x^2-2\Re z+|z|^2}\),

skąd

\(\displaystyle{ x^4+x^3+x^2+x+1=(x-z_1)(x-\bar{z_1})(x-z_2)(x-\bar{z_2})=(x^2-2\cos 72^{\circ}+1)(x^2-2\cos 144^{\circ}+1)}\)

Masz rozkład mianownika na czynniki Oba są nierozkładalne nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), więc będziemy mieli dwa ułamki proste drugiego rodzaju, oczywiście z paskudnymi współczynnikami, ale możliwymi do wyliczenia.

mariuszm: To do mnie chyba Twoja uwaga z trygonometrią (szw1710). Twoja metoda jest OK, ale także nie jest trywialna Oczywiście obiema metodami na jedno wyjdzie z tym współczynnikiem przy \(\displaystyle{ x}\). Wiesz, to jest tak, że pewne rzeczy dostrzega się od razu. Ty zobaczyłeś Twoją metodę, a ja w omawianym równaniu stopnia 4 zauważyłem równanie podziału okręgu, czyli od razu skojarzyłem liczby zespolone. A jak masz zespolony pierwiastek wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to jego sprzężenie też jest pierwiastkiem, a pomnożenie obu odpowiednich wyrażeń liniowych (zob. mój poprzedni post) prowadzi do trójmianu o współczynnikach rzeczywistych, stąd mój pomysł.

A już tak luźno: mieliśmy pierwiastki z jedynki stopnia 5, leżą one na wierzchołkach pięciokąta foremnego, a wiemy, że jego przekątne przecinają się w złotej proporcji. W Twoim rozwiązaniu widać ten złoty podział po liczbie \(\displaystyle{ \frac{1+\sqrt{5}}{2}.}\)

Pozdrawiam Cię serdecznie.