Matematyka.pl

mam problem z kilkoma zadaniami:( zalezy mi na rozwiazaniu krok po kroku

1.Oblicz \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{5+3cosx}}\)

2.Oblicz dł łuku krzywej danej wzorem:

\(\displaystyle{ y=\int_{-\frac{\pi}{2} }^{x} \sqrt{\cos t} dt}\) dla \(\displaystyle{ x [- \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}]}\)


z góry dziękuję:)

1. Podstawienie uniwersalne bo nic innego nie zrobisz raczej:
\(\displaystyle{ t=tg\frac{x}{2}\\
t \frac{1}{5+3\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{1+t^2}\mbox{d}t=
2\int \frac{ \frac{\mbox{d}t}{1+t^2} }
{\frac{2t^2+8}{1+t^2}}=
t \frac{\mbox{d}t}{t^2+4}\\
t^2=4s^2\\
t=2s\\
\mbox{d}t=2\mbox{d}s\\
2\int \frac{\mbox{d}s}{4s^2+4}=\frac{1}{2}\int \frac{\mbox{d}s}{s^2+1}=
\frac{1}{2}\arctan (s)+C=
\frac{1}{2}\arctan ft(\frac{t}{2}\right)+C=
\frac{1}{2}\arctan ft(\frac{\tan\frac{x}{2}}{2}\right)+C}\)

POZDRO

[ Dodano: 18 Lutego 2008, 22:45 ]
W drugim masz przeciez gotowy wzor:
\(\displaystyle{ L=\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+[f'(x)]^2}\mbox{d}x}\)

Problemem moze byc jedynie policzenie pochodnej tej funkcji. Jednak na to jest rowniez wzor:
\(\displaystyle{ F(x)=\int\limits_{\alpha}^{g(x)}f(t)\mbox{d}t\\
F'(x)=f\left(g(x)\right)\cdot g'(x)\\}\)

Czyli w twoim przypadku:
\(\displaystyle{ y'=\sqrt{\cos (x)}\cdot 1=\sqrt{\cos (x)}}\)

I do wzoru:
\(\displaystyle{ \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}}\sqrt{1+\cos x}\mbox{d}x=...}\)

POZDRO