Matematyka.pl

Jakiego podstawienia można użyć do rozwiazania tych całek?

1. \(\displaystyle{ \int e^x \sin e^x dx}\)

2. \(\displaystyle{ \int \frac{\ln (\arctan x)}{1+x^2} dx}\)

3. \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(\arcsin^2x+1 )\sqrt{1-x^2}}}\)

4. \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x\sqrt{1-\ln^2x}}}\)

\(\displaystyle{ 1. e^{x} = t}\) i przez części

\(\displaystyle{ 2. \arctg(x) = t}\) - całka z logarytmu naturalnego - przez części.

\(\displaystyle{ 3. \arcsin(x) = t}\) - całka z ...?

\(\displaystyle{ \ln(x) = t}\) - całka z .... ?

janusz47 pisze:\(\displaystyle{ 1. e^{x} = t}\) i przez części

Do policzenia całki \(\displaystyle{ \int\sin t \mbox{d}t}\) zdecydowanie nie potrzeba korzystać z całkowania przez części.

JK

Rzeczywiście nie trzeba.

Podstawiania w tych całkach są bardziej kwestią kosmetyki a nie faktycznych problemów w ich liczeniu. Każdą z tych całek można zapisać w ten (poniższy) sposób, na przykład:

\(\displaystyle{ \int \frac{ \mbox{d}x }{(\arcsin^2x+1 )\sqrt{1-x^2}}=\int \frac{ \mbox{d}\left( \arcsin x\right) }{\arcsin^2x+1 }}\)

Równie dobrze można napisać tą całkę tak, oraz skorzystać ze znanych wzorów:

\(\displaystyle{ \int\frac{\text{d}\clubsuit}{\clubsuit^2+1}=\arctg \left( \clubsuit\right)+C}\)

Także mniejsza z tym czy tam jest \(\displaystyle{ e^x}\), \(\displaystyle{ \arcsin x}\) czy jakiś chiński znaczek to koncepcja pozostaje taka sama.