\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{8-4\sin x + 7 \cos x}}\)
potrzeba mi rozwiązać taką całkę aby otrzymać rozwiązanie równania różniczowego
nasuwa mi się tylko podstawienie uniwersalne za cos i sin
za \(\displaystyle{ \tan \frac{x}{2}}\)
całka funkcji trygonometrycznej
-
scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
całka funkcji trygonometrycznej
Przez podstawienie uniwersalne wychodzi dość szybko:
\(\displaystyle{ t=\tan \frac{x}{2} \\
dx = \frac{2}{1+t^2} dt \\
\sin x = \frac{2t}{1+t^2} \\
\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} \\
\Rightarrow \int \frac{1}{8-\frac{8t}{1+t^2}+\frac{7(1-t^2)}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt = \ldots = \int \frac{2 dt}{(t-3)(t-5)}}\)
i ostatnią całkę przez ułamki proste.
\(\displaystyle{ t=\tan \frac{x}{2} \\
dx = \frac{2}{1+t^2} dt \\
\sin x = \frac{2t}{1+t^2} \\
\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} \\
\Rightarrow \int \frac{1}{8-\frac{8t}{1+t^2}+\frac{7(1-t^2)}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt = \ldots = \int \frac{2 dt}{(t-3)(t-5)}}\)
i ostatnią całkę przez ułamki proste.