Matematyka.pl

Zadanie bardzo podobne do opisanego w tym poscie:
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=3935

Z tym ze ja mam do czynienia z pierwiastkiem stopnia 3 :/
Oto to zadanie:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ 1 + \sqrt[2]{ 1 + \frac{1}{27} } } - \sqrt[3]{ - 1 + \sqrt[2]{ 1 + \frac{1}{27} } }}\)

\(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{1+\sqrt{1+\frac{1}{27}}} - \sqrt[3]{-1+\sqrt{1+\frac{1}{27}}}}\)

Podnosząc to wyrażenie do sześcianu dostajemy (niektóre 'obliczenia' pomijam):

\(\displaystyle{ x^3=2-3\left(\sqrt[3]{1+\sqrt{1+\frac{1}{27}}}\right)^2\cdot \sqrt[3]{-1+\sqrt{1+\frac{1}{27}}}+3\sqrt[3]{1+\sqrt{1+\frac{1}{27}}}\cdot \left(\sqrt[3]{-1+\sqrt{1+\frac{1}{27}}}\right)^2}\)

\(\displaystyle{ x^3=2-3\sqrt[3]{1+\sqrt{1+\frac{1}{27}}}\cdot\sqrt[3]{-1+\sqrt{1+\frac{1}{27}}}\left(\sqrt[3]{1+\sqrt{1+\frac{1}{27}}} - \sqrt[3]{-1+\sqrt{1+\frac{1}{27}}}\right)}\)

Zauważmy, że wyrażenie w nawiasie to x 'z początku'.

\(\displaystyle{ x^3=2-3\sqrt[3]{\frac{1}{27}}\cdot x}\)
\(\displaystyle{ x^3+x-2=0}\)
\(\displaystyle{ x^3-x^2+x^2-x+2x-2=0}\)
\(\displaystyle{ x^2(x-1)+x(x-1)+2(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)(x^2+x+2)=0}\)
\(\displaystyle{ x=1}\), co kończy dowód.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki