Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą ; wyznaczyć kres górny i dolny wyrażenia
\(\displaystyle{ \frac{x}{px + \{ x \}} + \frac{\{ x \} }{px+ \lfloor x \rfloor} }\)
zaś \(\displaystyle{ x}\) jest dowolną liczbą dodatnią. ;
Uwagi: \(\displaystyle{ \{ x \} }\) to część ułamkowa x, zaś \(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor}\) cześć całkowita \(\displaystyle{ x}\).
Suma ułamków
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13458
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3429 razy
- Pomógł: 809 razy
-
arek1357
Re: Suma ułamków
jakby podstawić:
\(\displaystyle{ \left\{ x\right\} =x-\left\lfloor x \right\rfloor }\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x}{px+x-\left\lfloor x\right\rfloor } + \frac{x-\left\lfloor x \right\rfloor}{px+\left\lfloor x \right\rfloor} }\)
podzielić licznik i mianownik przez x każdego ułamka i otrzymamy:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{p+1-\frac{\left\lfloor x \right\rfloor}{x}}+ \frac{1-\frac{\left\lfloor x \right\rfloor}{x}}{p+\frac{\left\lfloor x \right\rfloor}{x}} }\)
teraz podstawienie:
\(\displaystyle{ \frac{\left\lfloor x \right\rfloor}{x} =t \ge 0}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ g(t)= \frac{1}{p+1-t} + \frac{1-t}{p+t} }\)
lub:
\(\displaystyle{ g(t)= \frac{t^2-(p+1)t+p+1}{(t+p)(p+1-t)} , t \ge 0 }\)
wystarczy badać teraz tę funkcję...
\(\displaystyle{ \left\{ x\right\} =x-\left\lfloor x \right\rfloor }\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x}{px+x-\left\lfloor x\right\rfloor } + \frac{x-\left\lfloor x \right\rfloor}{px+\left\lfloor x \right\rfloor} }\)
podzielić licznik i mianownik przez x każdego ułamka i otrzymamy:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{p+1-\frac{\left\lfloor x \right\rfloor}{x}}+ \frac{1-\frac{\left\lfloor x \right\rfloor}{x}}{p+\frac{\left\lfloor x \right\rfloor}{x}} }\)
teraz podstawienie:
\(\displaystyle{ \frac{\left\lfloor x \right\rfloor}{x} =t \ge 0}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ g(t)= \frac{1}{p+1-t} + \frac{1-t}{p+t} }\)
lub:
\(\displaystyle{ g(t)= \frac{t^2-(p+1)t+p+1}{(t+p)(p+1-t)} , t \ge 0 }\)
wystarczy badać teraz tę funkcję...
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13458
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3429 razy
- Pomógł: 809 razy
-
arek1357
Re: Suma ułamków
dla: p=3:
mamy np. tu:
założenie o pierwszości p to według mnie kwiatek do kożucha...
mamy np. tu:
https://www.wolframalpha.com/input?i=g%28t%29%3D%28t%5E2-4t%2B4%29%2F%28%28t%2B3%29%284-t%29%29założenie o pierwszości p to według mnie kwiatek do kożucha...
-
arek1357
Re: Suma ułamków
Tak w sumie to ciekawe bo nawet o tym wcale nie myślałem a może to i źle, że nie myślałem...
Dodano po 1 godzinie 42 minutach 35 sekundach:
Zaraz zaraz a czemu wyjściowa funkcja ma być dodatnia otóż nie, przecież zawsze mamy:
\(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \ge 0}\)
Dodano po 1 godzinie 42 minutach 35 sekundach:
Zaraz zaraz a czemu wyjściowa funkcja ma być dodatnia otóż nie, przecież zawsze mamy:
\(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \ge 0}\)
-
arek1357
Re: Suma ułamków
A czemu nie może mieć wartość ujemną, weź sobie np.:
\(\displaystyle{ x=- \frac{1}{5} }\)
i np. z parametrem \(\displaystyle{ p=3}\)
\(\displaystyle{ f\left( -\frac{1}{5} \right) =- \frac{3}{2} }\)
\(\displaystyle{ x=- \frac{1}{5} }\)
i np. z parametrem \(\displaystyle{ p=3}\)
\(\displaystyle{ f\left( -\frac{1}{5} \right) =- \frac{3}{2} }\)
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13458
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3429 razy
- Pomógł: 809 razy
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22472
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 3855 razy
Re: Suma ułamków
treści zadania nie przeczytałeśarek1357 pisze: 12 paź 2024, o 14:17 A czemu nie może mieć wartość ujemną, weź sobie np.:
\(\displaystyle{ x=- \frac{1}{5} }\)
i np. z parametrem \(\displaystyle{ p=3}\)
\(\displaystyle{ f\left( -\frac{1}{5} \right) =- \frac{3}{2} }\)
W twoim rozwiązanie zmienna `t` przyjmuje tylko wybrane wartości
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13458
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3429 razy
- Pomógł: 809 razy
Re: Suma ułamków
Trzeba też uzasadnić, że jeśli \(\displaystyle{ 0 \le t \le 1 }\), to istnieje \(\displaystyle{ x}\) takie, że \(\displaystyle{ \frac{\lfloor x \rfloor }{x} = t}\)\(\displaystyle{ f\left( -\frac{1}{5} \right) =- \frac{3}{2} }\)
Jeśli a4karo nie kończy zdania kropką, lub zaczyna je małą literą, to wiedz, że coś się dzieje...
-
arek1357
Re: Suma ułamków
\(\displaystyle{ x}\) jest liczbą dodatnią
Założenie dodatniości zmienia postać rzeczy
W zadaniu nic nie pisało o dodatniości potem ktoś to dołożył, może Mol może a4karo nie wiem nie posądzam...
(na pewno nie było bo tego nie widziałem)...
więc sprawa się uproszcza na tyle, że to moje t oscyluje w granicach od jedna druga do jeden z dołączeniem zera a na wykresie jest w tym przedziale jednak funkcja o wartościach dodatnich
\(\displaystyle{ t = \frac{\left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor}{x} = \in \left\{ 0\right\} \cup \left( \frac{1}{2} ;1 \right\rangle }\)
\(\displaystyle{ g(0)=\max , x \in \left( 0;1\right) }\)
\(\displaystyle{ g(1)=\min , x \in N}\)
Założenie dodatniości zmienia postać rzeczy
W zadaniu nic nie pisało o dodatniości potem ktoś to dołożył, może Mol może a4karo nie wiem nie posądzam...
(na pewno nie było bo tego nie widziałem)...
więc sprawa się uproszcza na tyle, że to moje t oscyluje w granicach od jedna druga do jeden z dołączeniem zera a na wykresie jest w tym przedziale jednak funkcja o wartościach dodatnich
\(\displaystyle{ t = \frac{\left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor}{x} = \in \left\{ 0\right\} \cup \left( \frac{1}{2} ;1 \right\rangle }\)
\(\displaystyle{ g(0)=\max , x \in \left( 0;1\right) }\)
\(\displaystyle{ g(1)=\min , x \in N}\)
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13458
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3429 razy
- Pomógł: 809 razy
Re: Suma ułamków
Czemu tak ? (dla jakich \(\displaystyle{ x}\) )\(\displaystyle{ t = \frac{\left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor}{x} = \in \left\{ 0\right\} \cup \left( \frac{1}{2} ;1 \right\rangle }\)
-
arek1357
Re: Suma ułamków
Wystarczy popatrzeć na wykres funkcji powyżej oraz na wykres ten dla ixów dodatnich:
https://www.wolframalpha.com/input?i=f%28x%29%3Dfloor%28x%29%2Fx