Suma pierwiastków
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 21 maja 2022, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Podziękował: 3 razy
Suma pierwiastków
Wykaż, że \(\displaystyle{ \sqrt{8-2\sqrt{15}} + \sqrt{5-2\sqrt{6}} + \sqrt{8+2\sqrt{2} -2\sqrt{5} -2\sqrt{10} }=1. }\)
Ostatnio zmieniony 22 paź 2022, o 21:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nieregulaminowa nazwa tematu
Powód: Nieregulaminowa nazwa tematu
-
- Administrator
- Posty: 34486
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Suma pierwiastków
Zacząłbym od zauważenia, że \(\displaystyle{ 8+2\sqrt{2} -2\sqrt{5} -2\sqrt{10} =\left( 1+\sqrt2-\sqrt5\right)^2. }\) A potem próbował pozwijać do kwadratów pozostałe dwa wyrażenia podpierwiastkowe.
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22276
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3765 razy
Re: Suma pierwiastków
A dojść do tego można tak:
`(\sqrt5-\sqrt2)^2=7-2\sqrt{10}` więc `8-2\sqrt{10}=(\sqrt5-\sqrt2)^2+1`
stąd
`8-2\sqrt{10}-2(\sqrt5-\sqrt2)=(\sqrt5-\sqrt2-1)^2`
`(\sqrt5-\sqrt2)^2=7-2\sqrt{10}` więc `8-2\sqrt{10}=(\sqrt5-\sqrt2)^2+1`
stąd
`8-2\sqrt{10}-2(\sqrt5-\sqrt2)=(\sqrt5-\sqrt2-1)^2`
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 21 maja 2022, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Podziękował: 3 razy
Re: Suma pierwiastków
Właśnie miałem problem jak to trzecie wyrażenie zwinąć do wzoru skróconego mnożenia. Dziękuję bardzoJan Kraszewski pisze: ↑22 paź 2022, o 21:13 Zacząłbym od zauważenia, że \(\displaystyle{ 8+2\sqrt{2} -2\sqrt{5} -2\sqrt{10} =\left( 1+\sqrt2-\sqrt5\right)^2. }\) A potem próbował pozwijać do kwadratów pozostałe dwa wyrażenia podpierwiastkowe.
JK
-
- Administrator
- Posty: 34486
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Suma pierwiastków
No ja doszedłem tak, że łatwo zauważyć, iż w zwiniętym wyrażeniu muszą być trzy czynniki: z \(\displaystyle{ \sqrt{2}, }\) z \(\displaystyle{ \sqrt{5} }\) i czynnik bezpierwiastkowy. A potem już łatwo...
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 21 maja 2022, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Podziękował: 3 razy
Re: Suma pierwiastków
Tak teraz to faktycznie widać, ja na początku myślałem, że będzie tam 2 razy kwadrat sumy (w tym trzecim wyrażeniu) i próbowałem na siłe, ale nie wychodziło