Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \frac{(a-1)(a^3+a^2+a+1)}{a^2+1} = \frac{a^4-1}{a^2+1}}\)

Wytłumaczyłby mi ktoś proszę, skąd się to wzięło?

Prawdziwy jest wzór \(\displaystyle{ a^n - 1 = (a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a + 1)}\). Natomiast w mianowniku to chyba pomyłka. Dodatkowo \(\displaystyle{ a^4 - 1}\) można jeszcze inaczej zapisać (wzór skróconego mnożenia), dzięki czemu będzie można "skrócić" coś.

Kłopot w tym, że ten wzór znam, mam go podane stronę obok, ale nie umiem z niego skorzystać.

ps. tak, w mianowniku była pomyłka, poprawione

Podstaw do wzoru \(\displaystyle{ n = 4}\) z prawej strony, wymnóż nawiasy i zobacz, co wyjdzie.

Zajmując się wyrażeniem w liczniku, masz w tym większym nawiasie \(\displaystyle{ (a^3+a^2+a+1)}\)
Czyli (patrząc na wzór \(\displaystyle{ a^n - 1 = (a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a + 1)}\))
nasze \(\displaystyle{ a^3}\) to jest \(\displaystyle{ a^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ a^2 = a^{n-2} \\ a=a\\ 1=1}\)

aby te równości były prawdziwe to musi być \(\displaystyle{ n=4}\) stąd \(\displaystyle{ a^4-1}\)

Pytania ?

Dzięki wielkie!

Co do pytań to jeszcze będą ale z innego typu zadań. Jeszcze raz wielkie dzięki