Matematyka.pl

wykaż że jesli liczba \(\displaystyle{ n}\) jest różnicą kwadratów dwóch liczb naturalnych to liczba \(\displaystyle{ 5n}\) też jest różnicą kwadratów dwóch liczb naturalnych. Proszę o pomoc, domyślam się że trzeba przekształcić wyrażenie \(\displaystyle{ 5a ^{2} -5b ^{2}}\) ale nie mam żadnego pomysłu

Claim. Liczbę \(\displaystyle{ n\in\NN}\) można przedstawić jako różnicę kwadratów wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n\not \equiv 2 \text{ mod } 4.}\)

Dowód.
\(\displaystyle{ \left( \Rightarrow \right) }\) Jako, że \(\displaystyle{ (\forall p \in\ZZ) p^2 \text{ mod } 4 \in \{0,1\}}\) to \(\displaystyle{ (\forall p,q \in\ZZ) (p^2-q^2) \text{ mod } 4 \in \{0,1,-1\}=_{\text{ mod } 4}\left\{ 0,1,3\right\}.}\) Zatem faktycznie liczba postaci \(\displaystyle{ p^2-q^2}\) nie da reszty \(\displaystyle{ 2}\) podczas dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\).

\(\displaystyle{ \left( \Leftarrow \right) }\) Rozważmy dwa przypadki \(\displaystyle{ n=4k}\) lub \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste. Wtedy mamy \(\displaystyle{ 4k=(k+1)^2-(k-1)^2}\) w przypadku \(\displaystyle{ n=4k}\). Oraz \(\displaystyle{ 2m+1=(m+1)^2-m^2}\), gdy \(\displaystyle{ n=2m+1}\) jest nieparzyste tu wpadają przypadki \(\displaystyle{ 4k+1}\) oraz \(\displaystyle{ 4k+3}\) wynikające z przystawania \(\displaystyle{ \text{ mod } 4}\).

Wystarczy więc zauważyć, że \(\displaystyle{ 5n \equiv n \text{ mod } 4}\). Aby stwierdzić, że \(\displaystyle{ 5n}\) można zapisać jako różnicę kwadratów.

Można też zauważyć, że:

\(\displaystyle{ 5(a^2-b^2)=(3a-2b)^2-(2a-3b)^2}\)