Matematyka.pl

Cześć wszystkim? Ma ktoś pomysł jak te równania ugryźć? Nie chciałbym całego rozwiązania ale chociaż jakąś wskazówkę jak zacząć. Jakieś pomysły?

\(\displaystyle{ x^3=2 \sqrt[3]{2x-1} -1 \\ \sqrt{x^2-5x+6}= \sqrt[8]{9x-10-2x^2}}\)

W pierwszym podstaw \(\displaystyle{ 2x-1=t^3}\) i zauważ, że wówczas \(\displaystyle{ t^3=2\sqrt[3]{2t-1}-1}\).

W drugim masz pierwiastki parzystego stopnia - sprawdź, gdzie wyrażenia podpierwiastkowe są nieujemne.

Zamieniłem x na t...? Próbowałem tego podstawienia ale wtedy mi wychodzi 9 potęga po lewej stronie równania. Na pewno tedy droga?

Hm, nie. Tam chciałam zasugerować co innego. OK, może tak wnioski będą klarowniejsze: podstawiasz \(\displaystyle{ t^3=2x-1}\) po prawej stronie danego równania i dostajesz \(\displaystyle{ x^3=2t-1}\). Potraktuj to jako układ równań. Napisz co otrzymujesz, postaram się pomóc w razie trudności. Gdyby udało Ci się policzyć do końca, to pamiętaj o sprawdzeniu otrzymanych wyników w celu wyeliminowania pierwiastków obcych - przy równaniach przestępnych* na to trzeba szczególnie uważać.

EDIT: *niewymiernych i przestępnych

\(\displaystyle{ x^3 = 2 \sqrt[3]{2x-1} -1 \\
(x^3 + 1)^3 = (2 \sqrt[3]{2x-1})^3 \\
x^9 + 3 x^6 + 3 x^3 + 1 = 8 (2x - 1) \\
x^9 + 3 x^6 + 3 x^3 + 1 = 16 x - 8\\
x^9 + 3 x^6 + 3 x^3 - 16 x + 9 =0 \\
\ldots}\)


\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-5x+6}= \sqrt[8]{9x-10-2x^2} \\
\sqrt{(x-3)(x-2)}=\sqrt[8]{-(x-2)(2x-5)} \\
(x-3)^4(x-2)^4=-(x-2)(2x-5) \\
\ldots}\)

2) Np tak :
\(\displaystyle{ x^2-5x+6=t}\) (t jest nieujemne(*))

Wtedy
\(\displaystyle{ \sqrt{t}=\sqrt[8]{-t-(x-2)^2}}\) i kombinujemy kiedy może zajść równość (patrz (*))

W drugim sprawa jest prosta, bo dziedziny prawej i lewej strony mają dokładnie jeden punkt wspólny.


W pierwszym z wielomianem dziewiątego stopnia może być problem, bo mamy tylko jeden wymierny pierwiastek...

Po odjęciu stronami równania \(\displaystyle{ t^3=2x-1}\) od \(\displaystyle{ x^3=2t-1}\), przerzuceniu na jedną stronę i wyłączeniu wspólnego czynnika:

\(\displaystyle{ (x-t)\left(x^2+xt+t^2+2\right)=\frac{1}{4}(x-t)\left(3(x+t)^2+(x-t)^2+8\right)=0}\), więc \(\displaystyle{ x=t}\),

czyli pozostaje rozwiązać \(\displaystyle{ x^3=2x-1}\).

Czy dostaniemy tak wszystkie rozwiązania rzeczywiste? Owszem, wszak

\(\displaystyle{ \frac{x^9 + 3 x^6 + 3 x^3 - 16 x + 9}{(x-1)\left(x^2+x-1\right)}=x^6+2x^4+2x^3+4x^2+2x+9=\\ \\ x^6+x^4+x^2(x+1)^2+2x^2+(x+1)^2+8>0}\)

Pozostaje sprawdzić to, co wyszło.

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-5x+6}= \sqrt[8]{9x-10-2x^2}}\)

Tu określ i porównaj dziedziny obu funkcji.

W drugim wystarczy zauważyć fakt, po prawej stronie równania: \(\displaystyle{ -(x-2)(2x-5) =-(x-2)((x - 3) + (x - 2))}\) i to uzasadnić.

Elayne pisze:W drugim wystarczy zauważyć fakt, po prawej stronie równania: \(\displaystyle{ -(x-2)(2x-5) =-(x-2)((x - 3) + (x - 2))}\) i to uzasadnić.

Po co?

JK

Można jeszcze tak:

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-5x+6}= \sqrt[8]{9x-10-2x^2}}\)

Jeśli to, co pod obydwoma pierwiastkami jest jednocześnie zerem, to równanie będzie spełnione, czyli wtedy, gdy

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-5x+6=0 \\ -2x^2 + 9x-10 =0\end{cases}}\)

Biorąc pod uwagę dziedzinę, dochodzimy do wniosku, że

\(\displaystyle{ x=....}\)

By móc napisać odpowiedź

Elayne pisze:By móc napisać odpowiedź

Dalej nie widzę, w jaki sposób miałoby to pomóc (w napisaniu odpowiedzi).

JK

Z właściwości parzystości liczb.

Elayne pisze:Z właściwości parzystości liczb.

Dalej nie widzę...

Ja w drugim widzę tylko to:

bosa_Nike pisze:W drugim sprawa jest prosta, bo dziedziny prawej i lewej strony mają dokładnie jeden punkt wspólny.

więc nie wiem, co Ty tu widzisz.

JK