Matematyka.pl

Dzień dobry,
przeprowadzę analizę zadania, proszę o skorygowanie moich błędów.

\(\displaystyle{ \sqrt{x+5}- \sqrt{-x}=1 }\)

Założenia:
\(\displaystyle{ x+5 \ge 0}\) i \(\displaystyle{ -x \ge 0}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow x \in \left\langle -5;0\right\rangle }\)

Podnoszę obie strony równania do kwadratu:

\(\displaystyle{ x+5-2 \sqrt{x+5} \sqrt{-x}-x=1 }\)
\(\displaystyle{ 4=2 \sqrt{x+5} \cdot \sqrt{-x} }\)Podnoszę znów obie strony do kwadratu:
\(\displaystyle{ 16=4\left( x+5\right)\left( -x\right) }\)


\(\displaystyle{ x ^{2}+5x+4=0 }\)
\(\displaystyle{ x _{1}=-4 }\)
\(\displaystyle{ x _{2}=-1 }\) oba rozwiązania należą do dziedziny.

Teraz druga droga ( przeniosę jeden pierwiastek na drugą stronę i wtedy podniosę do kwadratu obie strony równania):

\(\displaystyle{ \sqrt{x+5}=1+ \sqrt{-x} }\)
\(\displaystyle{ x+5=1+2 \sqrt{-x}-x }\)
\(\displaystyle{ x+2= \sqrt{-x} }\) i tu dodaję założenie: \(\displaystyle{ x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}+5x+4=0 }\)
\(\displaystyle{ x _{1}=-4 }\) odrzucam, bo sprzeczne z założeniem
\(\displaystyle{ x _{2}=-1 }\)

Przy okazji jeszcze zapytam, czemu podnosząc pierwiastki do kwadratu nie tworzy się moduł wartości bezwzględnej?

Damieux pisze: 27 sty 2025, o 22:17 \(\displaystyle{ \sqrt{x+5}- \sqrt{-x}=1 }\)

Założenia:
\(\displaystyle{ x+5 \ge 0}\) i \(\displaystyle{ -x \ge 0}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow x \in \left\langle -5;0\right\rangle }\)

Podnoszę obie strony równania do kwadratu:

\(\displaystyle{ x+5-2 \sqrt{x+5} \sqrt{-x}-x=1 }\)
\(\displaystyle{ 4=2 \sqrt{x+5} \cdot \sqrt{-x} }\)Podnoszę znów obie strony do kwadratu:
\(\displaystyle{ 16=4\left( x+5\right)\left( -x\right) }\)


\(\displaystyle{ x ^{2}+5x+4=0 }\)
\(\displaystyle{ x _{1}=-4 }\)
\(\displaystyle{ x _{2}=-1 }\) oba rozwiązania należą do dziedziny.

To jeszcze nie koniec. Podnosiłeś obie strony równania do kwadratu - to nie jest przejście równoważne, musisz więc sprawdzić, czy otrzymane rozwiązania spełniają wyjściowe równanie (tzw. analiza starożytnych). Nietrudno sprawdzić, że \(\displaystyle{ x_1}\) nie spełnia, a \(\displaystyle{ x_2}\) spełnia, zostaje więc jedno rozwiązanie.

Damieux pisze: 27 sty 2025, o 22:17Teraz druga droga ( przeniosę jeden pierwiastek na drugą stronę i wtedy podniosę do kwadratu obie strony równania):

\(\displaystyle{ \sqrt{x+5}=1+ \sqrt{-x} }\)
\(\displaystyle{ x+5=1+2 \sqrt{-x}-x }\)
\(\displaystyle{ x+2= \sqrt{-x} }\) i tu dodaję założenie: \(\displaystyle{ x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}+5x+4=0 }\)
\(\displaystyle{ x _{1}=-4 }\) odrzucam, bo sprzeczne z założeniem
\(\displaystyle{ x _{2}=-1 }\)

I tu jest od razu dobrze, bo za pierwszym razem podnosiłeś do kwadratu wyrażenia nieujemne, a wtedy jest to przejście równoważne, a drugie podnoszenie do kwadratu jest przejściem równoważnym przy uczynionym dodatkowym założeniu.

Damieux pisze: 27 sty 2025, o 22:17Przy okazji jeszcze zapytam, czemu podnosząc pierwiastki do kwadratu nie tworzy się moduł wartości bezwzględnej?

A dlaczego miałby się "tworzyć"? Nie myl równości \(\displaystyle{ \sqrt{x^2}=|x| }\) z równością \(\displaystyle{ \left( \sqrt{x} \right)^2=x. }\)

JK

Ok, dziękuję za wyjaśnienie