Matematyka.pl

Witam

Rozwiązując pewne zadanie doszedłem do odpowiedzi lecz ku mojemu zdumieniu okaząła się ona błedna.
Proszę o wskazówkę.

Treść:
Wiedząc że: \(\displaystyle{ x + \frac{1}{x} = 3}\)
Oblicz wartość wyrażenia:
\(\displaystyle{ x^3 + \frac{1}{x^3}}\)

Cóż mnie wyszło że wartość tego wyrażenia wynosi \(\displaystyle{ 27}\) a w odpowiedziach napisane jest że powinno być \(\displaystyle{ 18}\).
Oto szkic moich przekształceń:
\(\displaystyle{ x^3 + \frac{1}{x^3} \\
x^3 + \frac{1^3}{x^3} \\
x^3 + \left( \frac{1}{x} \right) ^3}\)

Serio myślisz, że w liczbach rzeczywistych jest \(\displaystyle{ a^3+b^3=(a+b)^3}\) To tak nie działa, jak np. przygotowujesz się do matury (nie widzę innej motywacji do robienia takich nudnych zadań), to trochę śmieszno, a trochę straszno.

\(\displaystyle{ x^3+\frac 1 {x^3}=\left( x+\frac 1 x\right)^3-3\left( x+\frac 1 x\right) =27-9=18}\)

Chcesz powiedzieć, że to przychodzi z wiekiem? To znaczy, że za trzy lata też będę uważał, że \(\displaystyle{ a^3+b^3=(a+b)^3}\) ?

Wdusiłem Wyślij a nie Podgląd, potem moje przekształcenia z posta nr 1 skasuje.
Dzięki za szybkość odpowiedzi

-- 28 kwi 2018, o 13:58 --

OK, troszkę mnie źle zrozumieliście, to co napisał @Premislav jest dla mnie oczywiste.
Chodzi o rzecz troszkę inną.

Mam tezę/założenie - nie znam fachowej nazwy
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x} = 3}\)
oraz wyrażenie
\(\displaystyle{ x^3 + \frac{1}{x^3}}\)
=====
Teraz tak
\(\displaystyle{ x^3 + \frac{1}{x^3}}\)
\(\displaystyle{ x^3 + \frac{1^3}{x^3}}\)
\(\displaystyle{ x^3 + \left( \frac{1}{x} \right) ^3}\)
\(\displaystyle{ x^3 + x^{-3}}\)

To zostawiłem w tej formie. A nie to co @Premislav sądził:)
I w tym momencie rozpocząłem przekształcenia tezy/założenia:
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x} = 3}\)
\(\displaystyle{ x+ x^{-1} = 3}\)
\(\displaystyle{ x^{3} + x^{-3} = 27}\)

Doszedłem do równości i na tej podstawie stwierdziłem że wynik to 27.
=====
Jeżeli twierdzicie że to zły wynik to teraz prosiłbym o pomoc w znalezieniu byka.
Widzę opcję:
a) Nie wolno przekształcać tezy
b) Źle przekształciłeś tezę
c) a i b na raz.

Ja obstawiam b) gdyż \(\displaystyle{ 2 + 2 = 4}\) podniosłem do kwadratu i otrzymałem sprzeczność i stąd pytanie:
Dlaczego \(\displaystyle{ a+b=1}\) podniesione obustronnie do kwadratu daje \(\displaystyle{ (a+b)^2=1}\) a nie \(\displaystyle{ a^2+b^2=1}\)
Całe życie myślałem że jak mam jakieś równanie i podnoszę obustronnie do kwadratu to każdy wyraz osobno traktuje a tu trzeba dwa jako całość.
Dlaczego?

Jeśli nie zrozumiałeś skąd co się bierze, to wytłumaczę powoli. Każdy ma prawo się pomylić i czegoś nie wiedzieć i uważam, że nie powinno się tym osobom to wytykać, nawet w trywialnych rzeczach.

Mamy:
\(\displaystyle{ 27 = (x + \frac {1}{x})^{3} = x^{3} + 3x^{2} \cdot \frac {1}{x} + 3x \cdot \frac{1}{x^2} + \frac {1} {x^3} = x^{3} + 3x + \frac {3}{x} + \frac {1}{x^3} = x^{3} + \frac {1}{x^3} + 3x + \frac {3}{x}= x^{3} + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac {1}{x}) =x^{3} + \frac {1}{x^3} + 9}\).

Skorzystaliśmy tu ze wzoru skróconego mnożenia. Stąd wynika, że \(\displaystyle{ x^{3} + \frac{1}{x^3} = 27-9=18}\).

Przyczyną jest b.

Widzę, że chyba nie znasz wzorów skróconego mnożenia.
Np.: \(\displaystyle{ (3+5)^{2} = (3+5)(3+5) = 3^{2} + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 3 + 5^{2} = 3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot 5 + 5^{2}}\). Jak widać, że \(\displaystyle{ (3+5)^{2} = 8^{2} = 64}\) oraz \(\displaystyle{ 3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot 5 + 5^{2} = 9 + 30 + 25 = 64}\). To jest wzór na kwadrat sumy, czyli \(\displaystyle{ (a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}}\). Analogicznie można pokazać, że \(\displaystyle{ (a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}}\). Spróbuj wyprowadzić wzór \(\displaystyle{ (a+b)^{3} = (a+b)(a+b)(a+b)=...}\) Łatwo można go znaleźć w internecie wpisując hasło "wzory skróconego mnożenia" albo nawet i patrząc na rozwiązanie, które napisałem na początku postu.

\(\displaystyle{ 2+3=5}\)
Czy
\(\displaystyle{ 2^3+3^3=125}\) ?