Matematyka.pl

Cześć wszystkim.

Po pierwsze chcę przeprosić, bo nie wiedziałem w którym dziele umieścić ten temat - tym gorzej się z tym czuję, że jest to mój pierwszy post. Proszę o ewentualne przeniesienie i przepraszam moderatora za tę robotę. Kończąc to samobiczowanie przejdę do sedna sprawy.

Miałem proste zadanie polegające na udowodnieniu, że funkcja jest rosnąca.
\(\displaystyle{ \left( 1-\frac{1}{ \sqrt[]{2}} \right) x - 8 < \left( 1-\frac{1}{ \sqrt[]{2}} \right) \left( x + 1 \right) - 8}\)
\(\displaystyle{ x - \frac{x}{\sqrt{2}} < x - \frac{x}{\sqrt{2}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}\)
Z tego wyszło mi, że prawa strona jest większa od lewej, czyli funkcja jest rosnąca:
\(\displaystyle{ 0 < 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}\)
Żeby jednak jeszcze coś z tego zadania wycisnąć założyłem, że nie wiem ile wynosi pierwiastek z \(\displaystyle{ 2}\) i pomnożyłem parę razy nierówność przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ 0 < \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} \\
0 < \sqrt{2} - 1 \\
0 < 2 - \sqrt{2}}\)

W tym miejscu moje dwa pytania skierowane do Was.
1. Czy mogę obustronnie mnożyć nierówność/równanie, gdy jedna z nich równa jest zeru? Nie dostrzegam w tym nic niewłaściwego, ale wolałbym mieć pewność.
2. Dowód chciałem w efektowny sposób zakończyć pisząc, że prawa strona jest mniejsza od lewej, gdyż pierwiastek z \(\displaystyle{ x}\) jest z definicji mniejszy od \(\displaystyle{ x}\). Tutaj jednak złapałem się na tym, że niekoniecznie. Dla \(\displaystyle{ x = \frac14}\) to zdanie nie jest prawdziwe. Postanowiłem wprowadzić pewne założenie, tylko nie wiem w jaki sposób mógłbym to ładnie zapisać. Jak wprowadza się założenia używając symboli?
Chciałbym, by zdanie docelowe było równoważne temu: \(\displaystyle{ 0 < 2 - \sqrt{2}}\) ponieważ dla każdego \(\displaystyle{ x > 1}\) mamy \(\displaystyle{ \sqrt{x} < x}\).
Jak w "języku matematyki" zapisać "ponieważ"? Spędziłem blisko godzinę w google, pół przeszukując książki i dalej nie do końca wiem czym się różni implikacja logiczna od materialnej, ani czy którakolwiek z nich będzie w tym wypadku użyteczna.
Pomyślałem nad zapisaniem tego zdania z użyciem kwantyfikatora ogólnego, daję Wam to do wglądu:
\(\displaystyle{ \left( \forall x > 1 \right) \left( 0 < x - \sqrt{x} \right)}\)
Czy można zapisać to w jakiś inny sposób? Czy któryś z poniższych jest bliski temu, co chcę uzyskać?
\(\displaystyle{ 0 \left\langle 2 - \sqrt{2} \implies x \right\rangle \sqrt{x} : x > 1\\
x > \sqrt{x} : x > 1}\)

Pozdrawiam
- j3rzy

Nie staraj się na siłę zapisać wszystkiego za pomocą symboli matematycznych.
Tekst matematyczny zapisany tylko symbolami byłby nie do czytania. Używamy zatem normalnych słów, zdań, opisów, a symbole są używane tylko tam, gdzie to jest naprawdę konieczne dla precyzyjnego wyrażenia myśli, lub gdzie znacznie ułatwia zrozumienie przedstawionego toku myślenia.

Przyznam, że robiłem to na siłę; motywowała mnie zwyczajna ciekawość. Gdy przeglądam sobie poradniki matematyczne, to twierdzenie, które zajmuje parę linijek w j. polskim jest pięknie "skompresowane" do niepełnej linijki następujących po sobie symboli. Sądziłem, że instnieje jakiś powszechnie stosowany zapis, z którym zwyczajnie nie mialem do czynienia. No i lubię uczy się języków obcych
Tak czy inaczej, dzięki za odpwiedź, a4karo.

Zupełnie inną sprawą jest to, że aby udowodnić, że funkcja jest rosnąca, nie wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ f(x)<f(x+1)}\) (co - jak sie wydaje - probujesz zrobić)

j3rzy pisze:Gdy przeglądam sobie poradniki matematyczne, to twierdzenie, które zajmuje parę linijek w j. polskim jest pięknie "skompresowane" do niepełnej linijki następujących po sobie symboli.

Parę linijek w języku polskim jest często lepsze od "pięknej" linijki symboli.

JK

JK: będę miał to na uwadze, dzięki za odpowiedź.

a4karo: ups, wydawało mi się, że to wystarczy. Wziąłem się za liczenie bez czytania części teoretycznej - jak widać, mam braki. Cieszę się, że zwróciłeś mi uwagę. Wyszperałem viewtopic.php?t=204183 i jutro postaram się nad tym przysiąść.

Głupie pytanie, ale czy to nie jest funkcja liniowa? Skoro tak to wypadałoby udowodnić tylko, że współczynnik przy iksie jest dodatni.

Tak, to jest funkcja liniowa. Autor wątku chciał sprawdzać jej monotoniczność z definicji (choć robił to niepoprawnie), można to robić tak, jak Ty chcesz, ale to zakłada odwołanie się do stosownych twierdzeń opisujących własności funkcji liniowej (które trzeba wcześniej udowodnić...).

JK