Matematyka.pl

\(\displaystyle{ 2 ^{x ^{2}+4 } + 2 ^{x ^{2}+3 } + 2 ^{x ^{2} } > 5 ^{x ^{2}+1 } - 25 \cdot 2 ^{x ^{2}-2 }}\)
starałem się jak mogłem ale nie mogę tego rozwiązać

Wprowadź zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ x^2=t}\).

moim zdaniem powinno to być tak:
\(\displaystyle{ 2^{x^{2}+4}+2 ^{x^{2}+3} + 2^{x^{2}} + 2^{x^{2}-2} > 5^{x^{2}+1}}\)
wiadomo, że np \(\displaystyle{ 2^{a+2}= 2^{a} \cdot 2^{2}}\)
więc wyciągamy część wspólną,
\(\displaystyle{ 2^{x^{2}}(2^{4}+2^{3}+1+25 \cdot 2^{-2}) > 5^{x^{2}+1}}\)
to co w nawiasie podnosimy do potęgi i dodajemy oraz obie strony dzielimy przez \(\displaystyle{ 2^{x^{2}}}\)
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{125}{4}=( \frac{5}{2})^{2} \cdot 5 > ( \frac{5}{2})^{x^{2}} \cdot 5}\)
przyrównujemy tylko potęgi, [zmieniamy znak nierówności na przeciwny gdy podstawa jest większa od zera a mniejsza od 1.... w przypadku gdy podstawa jest większa od jedynki to znak zostaje bez zmian.
Zatem przy porównywaniu wykładników znaku nie zmieniamy (ponieważ nasza podstawa jest większa od 1)], czyli będzie to następująco:
\(\displaystyle{ 2>x^{2}}\)
\(\displaystyle{ x< \sqrt{2}}\)