Najmniejsza wartość wyrażenia
-
- Użytkownik
- Posty: 154
- Rejestracja: 4 lis 2008, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 6 razy
Najmniejsza wartość wyrażenia
Jaka jest najmniejsza wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y}}\), wiedząc, że \(\displaystyle{ x>0}\), \(\displaystyle{ y>0}\) i \(\displaystyle{ x+y=1}\)
- Artist
- Użytkownik
- Posty: 865
- Rejestracja: 27 sty 2008, o 21:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 239 razy
Najmniejsza wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{xy}}\)
Podstawmy teraz \(\displaystyle{ y=1-x}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x(1-x)}}\)
Wyrażenie to będzie najmniejsze, gdy mianownik będzie możliwie największy.
\(\displaystyle{ -x^{2}+x}\) ma byc największe
\(\displaystyle{ x_{w}=\frac{-b}{2a}=\frac{1}{2}}\)
Funkcja malejąca, więc jest to najwyższa wartośc. Obliczenie y teraz nie jest problemem.
Podstawmy teraz \(\displaystyle{ y=1-x}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x(1-x)}}\)
Wyrażenie to będzie najmniejsze, gdy mianownik będzie możliwie największy.
\(\displaystyle{ -x^{2}+x}\) ma byc największe
\(\displaystyle{ x_{w}=\frac{-b}{2a}=\frac{1}{2}}\)
Funkcja malejąca, więc jest to najwyższa wartośc. Obliczenie y teraz nie jest problemem.
Najmniejsza wartość wyrażenia
głowiłem się nad tym zadaniem, aż znalazłem je tutaj
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{xy}}\)
skąd się wziął taki wynik? nie rozumiem jak dokonano tego przekształcenia
wg jakich praw działań na liczbach? proszę o wytłumaczenie
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{xy}}\)
skąd się wziął taki wynik? nie rozumiem jak dokonano tego przekształcenia
wg jakich praw działań na liczbach? proszę o wytłumaczenie
-
- Użytkownik
- Posty: 4672
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 124 razy
- Pomógł: 978 razy
Najmniejsza wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}= \frac{y}{xy}+ \frac{x}{xy}= \frac{x+y}{xy}}\)
A że \(\displaystyle{ x+y=1}\) masz w treści zadania.
A że \(\displaystyle{ x+y=1}\) masz w treści zadania.
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Najmniejsza wartość wyrażenia
Zauważ, że korzystając z nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{x+y}{2} \ge \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ge \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}}\)
\(\displaystyle{ 2 \le \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{2}}\)
\(\displaystyle{ 4 \le \frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\)
Czyli najmniejsza wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\) wynosi 4.
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ \frac{x+y}{2} \ge \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ge \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}}\)
\(\displaystyle{ 2 \le \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{2}}\)
\(\displaystyle{ 4 \le \frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\)
Czyli najmniejsza wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\) wynosi 4.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Najmniejsza wartość wyrażenia
Z Jensena dla \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = f(x) + f(y) \ge 2f(\frac{x+y}{2}) = 2f(\frac{1}{2}) = 4}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = f(x) + f(y) \ge 2f(\frac{x+y}{2}) = 2f(\frac{1}{2}) = 4}\)