Matematyka.pl

Funkcja f dana jest wzorem \(\displaystyle{ f(x)= x + x ^{3} + x^{5} + \ldots + x ^{2011} .}\)
Wtedy \(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{2} \right) :}\)
A \(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{2} \right) \ge 1}\)
B \(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{2} \right) \le \frac{3}{4}}\)
C \(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{2} \right) \le \frac{2}{3}}\)
D \(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{2} \right) \ge \frac{5}{8}}\)

Proszę o sposób rozwiązania tego zadania.

Zauważ, że wzór funkcji tworzy ciąg geometryczny. Podstaw \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) pod każdego iksa. Następnie oblicz \(\displaystyle{ q}\) i wszystko podstaw pod wzór na sumę ciągu geometrycznego

Mam problem z wyliczeniem tej sumy. mam taki wzór:
\(\displaystyle{ S _{1006}= \frac{1}{2} \cdot \frac{1- \frac{1}{4} ^{1006} }{1- \frac{1}{4} } = ..... = \frac{2}{3} \cdot ( 1- \frac{1}{4} ^{1006})}\)
Musze otrzymać dość precyzyjny wynik, bo odpowiedzi ABCD tego wymagają. A odpada od razu, C jest poprawna co już widać. Natomiast mam problem jak dowieść , że B i D również są poprawne....Czy wystarczy powiedzieć ze \(\displaystyle{ ( 1- \frac{1}{4} ^{1006})}\) jest wystarczająco małą liczbą, by \(\displaystyle{ f( \frac{1}{2}) \ge \frac{5}{8}}\) oraz \(\displaystyle{ F( \frac{1}{2}) \le \frac{3}{4} }}\) ??

\(\displaystyle{ ...< \frac{2}{3}}\)
bo to w nawiasie jest <1-- 6 lip 2011, o 13:40 --A co do tych \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\) to oblicz dwa pierwsze wyrazy tej sumy

mam problem z tym samym zadaniem. Jak udowodnić to \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\)?

Myślę że dość poprawny wynik otrzymasz stosując ten sposób, szereg będzie minimalnie mniejszy .
"Nieskończony szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy wartość bezwzględna jego ilorazu jest mniejsza od 1 ( | q | < 1). Granica szeregu, nazywana sumą szeregu i utożsamiana z sumą wszystkich elementów związanego z nim nieskończonego ciągu geometrycznego, dana jest wzorem:
\(\displaystyle{ \sum_{ 0 }^{\infty} a _{1} q ^{n}= \frac{a _{1} }{1-q}}\) "

w tym przypadku \(\displaystyle{ q = \frac{x ^{3} }{x}}\) co daje nam \(\displaystyle{ x ^{2} => (\frac{3}{4}) ^{2}}\) podstaw do wzoru \(\displaystyle{ a_{1}}\) = \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) prawdopodobnie

Mi wyszło, \(\displaystyle{ \frac{12}{7}}\) ponieważ liczymy dla nieskończonego to wynik powinien być troszkę mniejszy.

bakala12 pisze:\(\displaystyle{ ...< \frac{2}{3}}\)
bo to w nawiasie jest <1

-- 6 lip 2011, o 13:40 --

A co do tych \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\) to oblicz dwa pierwsze wyrazy tej sumy

trzebiec pisze:mam problem z tym samym zadaniem. Jak udowodnić to \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\)?

Zauważ że \(\displaystyle{ \frac{2}{3}< \frac{3}{4}}\)