Matematyka.pl

Czy tak napisany dowód jest poprawny?: (\(\displaystyle{ \rho}\) - wsp. korelacji lin. zm. losow.)

Założenia: \(\displaystyle{ X,Y}\) -całkowalne z kwadratem zm. losowe o dodatnich wariancjach.
Teza: \(\displaystyle{ |\rho(X,Y)=1|}\) wtedy i tylko wtedy, gdy zmienne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są prawie na pewno liniowo zależne, tzn. istnieją takie stałe \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ a\neq 0}\), że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y=aX+b)=1}\). Ponadto równość ta zachodzi dla stałych
\(\displaystyle{ a=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\rho(X,Y)}\), \(\displaystyle{ b=\mathbb{E}Y-a\mathbb{X}.}\)
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ \; U:=\frac{X-\mathbb{E}X}{\sqrt{D^2 X}}}\), \(\displaystyle{ V:=\frac{Y-\mathbb{E}Y}{\sqrt{D^2 Y}}}\).
Obserwacje policzone na boku (nie z tą częścią miałem problem i nie przytaczam):
\(\displaystyle{ \mathbb{E}[UV]=\rho(X,Y)=\rho(U,V).}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}U=\mathbb{E}V=0.}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}[U^2]=\mathbb{E}[V^2]=1.}\)
\(\displaystyle{ D^2U=D^2V=1.}\)
1. Najpierw załóżmy, że \(\displaystyle{ |\rho(X,Y)|=1}\).
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ D^2(U\pm V)=\mathbb{E}[(U\pm V)^2]-\underset{=0,\text{ bo }\mathbb{E}U=\mathbb{E}V=0}{(\underbrace{\mathbb{E}[U\pm V]})^2}=2(1\pm\rho(X,Y))=2(1\pm\rho(X,Y)).}\)
Przytaczam fakt: \(\displaystyle{ \boxed{D^2X=0\Leftrightarrow X=\mathbb{E}X\text{ p.n.}}}\)
1. a) Jeżeli \(\displaystyle{ \rho(X,Y)=1}\), to \(\displaystyle{ D^2(U-V)=0}\), czyli \(\displaystyle{ U-V=\mathbb{E}U-\mathbb{E}V=0-0=0}\) p. n. Zatem
\(\displaystyle{ \frac{X-\mathbb{E}X}{\sqrt{D^2 X}}=\frac{Y-\mathbb{E}Y}{\sqrt{D^2 Y}}}\) praw. napewn. \(\displaystyle{ \Leftrightarrow Y=\frac{\sqrt{D^2Y}}{\sqrt{D^2X}}X+\mathbb{E}Y-\frac{\sqrt{D^2Y}}{\sqrt{D^2X}}\mathbb{E}X}\) p.n.
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow Y=\frac{\sigma_Y}{\sigma X}\underset{\substack{\parallel \\ 1}}{\underbrace{\rho(X,Y)}}X+\mathbb{E}Y-\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\underset{\substack{\parallel \\ 1}}{\underbrace{\rho(X,Y)}}\mathbb{E}X}\) p.n.
1. b)Jeżeli \(\displaystyle{ \rho(X,Y)=-1}\), to \(\displaystyle{ D^2(U+V)=0}\), czyli \(\displaystyle{ U+V=0}\) p. n. Analogicznie liczymy:
\(\displaystyle{ \frac{X-\mathbb{E}X}{\sqrt{D^2 X}}=-\frac{Y-\mathbb{E}Y}{\sqrt{D^2 Y}}}\) p. n. \(\displaystyle{ \Leftrightarrow Y=-\frac{\sigma_Y}{\sigma X}X+\left(\mathbb{E}Y+\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\mathbb{E}X\right)}\) p.n.
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow Y=\frac{\sigma_Y}{\sigma X}\underset{\substack{\parallel \\ -1}}{\underbrace{\rho(X,Y)}}X+\mathbb{E}Y-\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\underset{\substack{\parallel \\ -1}}{\underbrace{\rho(X,Y)}}\mathbb{E}X}\) p.n.
2. Przypuśćmy teraz, że \(\displaystyle{ Y=aX+b}\) p. n. dla pewnych stałych \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ a\neq 0}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ V=\frac{aX+b-a\mathbb{E}X-b}{\sqrt{D^2(aX+b)}}=\frac{a(X-\mathbb{E}X}{\sqrt{a^2D^2X}}=\frac{a}{|a|}\cdot\frac{X-\mathbb{E}X}{\sqrt{D^2 X}}=\text{sgn}(a)\frac{X-\mathbb{E}X}{\sqrt{D^2X}}}\) prawie na pewno.
Wiemy, że \(\displaystyle{ \rho(X,Y)=\mathbb{E}[UV]}\). Ale \(\displaystyle{ \mathbb{E}[UV]=\mathbb{E}\left[\text{sgn}(a)\left(\frac{X-\mathbb{E}X}{\sqrt{D^2X}}\right)^2\right]=\text{sgn}(a)\underset{\substack{\parallel \\ 1}}{\underbrace{\mathbb{E}[U^2]}}=\text{sgn}(a).}\)
W szczególności oznacza to, że \(\displaystyle{ |\rho(X,Y)|=1}\).