Matematyka.pl

Dzień dobry,
Mam lekki problem z zadaniem dotyczącym warunkowej wartość oczekiwanej. Jego treść brzmi następująco:

Niech \(\displaystyle{ X_{1} }\) oraz \(\displaystyle{ X_{2} }\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tych samych rozkładach wykładniczych, \(\displaystyle{ T = X_{1} + X_{2} }\), oraz

\(\displaystyle{ Y = \begin{cases} 1 & X_{1}\geq3 \\ 0 & \text{wpp} \end{cases} }\)

Obliczyć \(\displaystyle{ \mathbb{E} \left( Y \; |\; T=5 \right) }\).

Rozwiązanie zacząłem od wyznaczenia rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ T }\), co raczej jest najmniej wymagającą częścią zadania, bo nie do końca wiem jak to dalej pociągnąć. Czy dobrze rozumiem, że rozwiązanie sprowadza się do wyznaczenia \(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( X_{1} \geq 3 \; | \; T=5 \right) }\)? Czy jednak pojawia się tutaj kwestia wyznaczenia jakiegoś innego rozkładu warunkowego \(\displaystyle{ f_{Y | T} }\)? Byłbym ogromnie wdzięczny za podpowiedź.

Proponuję następujący sposób rozwiązania zadania:

1.
Określić rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ T = X_{1}+X_{2} }\) - jako rozkład wykładniczy o parametrze \(\displaystyle{ 2\lambda. }\)

2.
Z definicji zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y }\) i równania \(\displaystyle{ T = 5 }\) wyznaczyć wartość parametru \(\displaystyle{ \lambda }\) rozkładu wykładniczego.

3.
Skorzystać z określenia warunkowej wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ E(Y|T).}\)

Dodano po 1 godzinie 34 minutach 47 sekundach:
Funkcja gęstości rozkładu \(\displaystyle{ T = X_{1}+X_{2}}\) jest równa \(\displaystyle{ f_{T} = \lambda^2x e^{-\lambda x}, \ \ x>0.}\)