Zadanie jest następujące:
W chwili \(\displaystyle{ n = 2,3,...}\) cząstka albo rozpada się (znika) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ q}\) albo przekształca się w \(\displaystyle{ m}\) takich samych cząstek z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p = 1 - q}\). Jaka jest średnia liczba cząstek w \(\displaystyle{ n}\)-tym pokoleniu?
Przez \(\displaystyle{ X_{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) rozumiem w dalszym ciągu, zmienną losową oznaczającą liczbę cząstek w \(\displaystyle{ n}\)-tym pokoleniu.
Na początku udało mi się ustalić, że \(\displaystyle{ EX_{2} = mp}\).
I teraz tak na chłopski rozum pomyślałem sobie, że jak w drugim pokoleniu 'mamy' średnio \(\displaystyle{ mp}\) cząstek to średnio z każdej cząsteczki powstaje \(\displaystyle{ mp}\) nowych cząstek. Stąd dochodzę do wniosku, że \(\displaystyle{ EX_{3} = (mp)^{2}}\). Indukcyjnie doszedłem do równości:\(\displaystyle{ EX_{n} = (mp)^{n-1}}\).
No więc postanowiłem to jakoś sformalizować i postanowiłem wykorzystać do tego celu warunkową wartość oczekiwaną (np. dla zm. losowej \(\displaystyle{ X_{3}}\)):
\(\displaystyle{ EX_{3} = E(E(X_{3}|X_{2})) = E(mp \cdot X_{2}) = mp \cdot EX_{2} = (mp)^{2}}\).
Chciałbym dowiedzieć się od Was czy takie rozumowanie nie jest przypadkiem zbyt mało precyzyjne. Mam wątpliwości, bo nie do końca jeszcze obyłem się z warunkową wartością oczekiwaną i nie wiem czy nie mogą się tutaj po drodze wydarzyć różne dziwne rzeczy.
Jeżeli to rozumowanie nie jest prawidłowe, to gdzie tkwi błąd.
Będę wdzięczny za wszelkie wskazówki.
Warunkowa wartość oczekiwana
-
- Użytkownik
- Posty: 249
- Rejestracja: 15 wrz 2008, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Syberia
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 32 razy
Warunkowa wartość oczekiwana
Załóżmy, że w n-tym momencie jest \(\displaystyle{ X_n}\) cząstek. Wtedy:
\(\displaystyle{ X_{n+1}=Y_{1}^{(n+1)}+...+Y_{X_n}^{(n+1)}}\), gdzie:
\(\displaystyle{ P(Y_{i}^{(n+1)}=m)=1-P(Y_{i}^{(n+1)}=0)=p}\) i zmienne \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne. Wówczas, istotnie jak sam zauważyłeś, ze wzoru na w.w.o.:
\(\displaystyle{ EX_{n+1}=E(E(X_{n+1}|X_{n}))=E(E(Y_{1}^{(n+1)}+...+Y_{X_n}^{(n+1)}|X_n))=E(X_n \cdot E(Y_{1}^{(n+1)}|X_{n}))=E(X_n\cdot mp)=mpEX_n}\)
Tak więc przez indukcję otrzymujemy, co trzeba i to co napisałeś było dobrze, jedynie brakowało zmiennych pomocniczych.
\(\displaystyle{ X_{n+1}=Y_{1}^{(n+1)}+...+Y_{X_n}^{(n+1)}}\), gdzie:
\(\displaystyle{ P(Y_{i}^{(n+1)}=m)=1-P(Y_{i}^{(n+1)}=0)=p}\) i zmienne \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne. Wówczas, istotnie jak sam zauważyłeś, ze wzoru na w.w.o.:
\(\displaystyle{ EX_{n+1}=E(E(X_{n+1}|X_{n}))=E(E(Y_{1}^{(n+1)}+...+Y_{X_n}^{(n+1)}|X_n))=E(X_n \cdot E(Y_{1}^{(n+1)}|X_{n}))=E(X_n\cdot mp)=mpEX_n}\)
Tak więc przez indukcję otrzymujemy, co trzeba i to co napisałeś było dobrze, jedynie brakowało zmiennych pomocniczych.
-
- Użytkownik
- Posty: 500
- Rejestracja: 19 lip 2011, o 09:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 79 razy
Warunkowa wartość oczekiwana
Dziękuję za odpowiedź, teraz wygląda to rzeczywiście pełniej i bardziej mnie przekonało do poprawności rozwiązania. Fajnie, że tak szybko odpowiedziałeś.
Pozdrawiam
Pozdrawiam