Udowodnić, że funkcja F jest dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej X, opisać rozkład za pomocą tabelki.
\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases} 0 &\text{dla } x< -1\\ 0,4 &\text{dla } -1 \le x < 2,5 \\ 0,7 &\text{dla } 2,5 \le x< 4 \\ 1&\text{dla } 4 \le x \end{cases}}\)
Czy wystarczy jak zrobię wykres dystrybuanty - przez co udowodnię, że funkcja jest ciągła ?
Ale w jaki sposób zrobić tabelkę, kiedy nie znam liczby prawdopodobieństw ?
Udowodnić że funkcja jest dystrybuantą rozkładu
-
Klaudiuska88
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 6 sty 2023, o 21:00
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 17 razy
Udowodnić że funkcja jest dystrybuantą rozkładu
Ostatnio zmieniony 18 kwie 2023, o 13:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7936
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1679 razy
Re: Udowodnić że funkcja jest dystrybuantą rozkładu
Dystrybuantą zmiennej plosowej \(\displaystyle{ X }\) dyskretnej nazywamy funkcję określoną wzorem:
\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{\{i: x_{i}<x\} } p(x_{i}) = \sum_{\{i: x_{i}<x \}} p_{i} }\)
Proszę zauważyć, że we wzorze tym sumowanie rozciąga się na składniki \(\displaystyle{ p_{i} }\), dla których spełnione są nierówności \(\displaystyle{ x_{i}< x. }\)
Z powyższego wzoru wynika, że dystrybuanta zmiennej losowej skokowej \(\displaystyle{ X }\) jest funkcją przedziałami stałą i w skończonej lub przeliczalnej liczbie punktów, które są wartościami tej zmiennej, ma skoki równe prawdopodobieństwom, z którymi przyjmuje te wartości.
Na podstawie danego wykresu dystrybuanty, zmienna losowa \(\displaystyle{ X }\) przyjmuje tylko te wartości, w których dystrybuanta ma skok.
Są to liczby: \(\displaystyle{ x_{1} = -1, \ \ x_{2} = 2,5,\ \ x_{3} = 4.}\)
Prawdopodobieństwa, z którymi zmienna losowa przyjmuje wartości są równe skokom dystrybuanty w punktach \(\displaystyle{ x_{1}, \ \ x_{2}, \ \ x_{3}, \ \ x_{4}, }\) więc \(\displaystyle{ p_{1}= 0,4 - 0 = 0,4, \ \ p_{2} = 0,7 - 0,4 = 0,3, \ \ p_{3} = 1- 0,7 = 0,3.}\)
Otrzymaliśmy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ X }\)
Tabela:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline
x_{i} & -1 & 2,5 & 4 & \sum_{i} x_{i} \\ \hline
p_{i} & 0,4 & 0,3 & 0,3 & 1 \\ \hline
\end{tabular} }\)
Można wykonać dwa wykresy - wykres dystrybuanty w postaci rosnącej funkcji przedziałami stałej (schodkowej) z zaznaczonymi skokami \(\displaystyle{ p_{i} }\) i wykres prążkowy lub słupkowy \(\displaystyle{ (x_{i}, p_{i} ), i = 1,2,3 }\) rozkładu prawdopodobieństwa na podstawie tabeli.
\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{\{i: x_{i}<x\} } p(x_{i}) = \sum_{\{i: x_{i}<x \}} p_{i} }\)
Proszę zauważyć, że we wzorze tym sumowanie rozciąga się na składniki \(\displaystyle{ p_{i} }\), dla których spełnione są nierówności \(\displaystyle{ x_{i}< x. }\)
Z powyższego wzoru wynika, że dystrybuanta zmiennej losowej skokowej \(\displaystyle{ X }\) jest funkcją przedziałami stałą i w skończonej lub przeliczalnej liczbie punktów, które są wartościami tej zmiennej, ma skoki równe prawdopodobieństwom, z którymi przyjmuje te wartości.
Na podstawie danego wykresu dystrybuanty, zmienna losowa \(\displaystyle{ X }\) przyjmuje tylko te wartości, w których dystrybuanta ma skok.
Są to liczby: \(\displaystyle{ x_{1} = -1, \ \ x_{2} = 2,5,\ \ x_{3} = 4.}\)
Prawdopodobieństwa, z którymi zmienna losowa przyjmuje wartości są równe skokom dystrybuanty w punktach \(\displaystyle{ x_{1}, \ \ x_{2}, \ \ x_{3}, \ \ x_{4}, }\) więc \(\displaystyle{ p_{1}= 0,4 - 0 = 0,4, \ \ p_{2} = 0,7 - 0,4 = 0,3, \ \ p_{3} = 1- 0,7 = 0,3.}\)
Otrzymaliśmy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ X }\)
Tabela:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline
x_{i} & -1 & 2,5 & 4 & \sum_{i} x_{i} \\ \hline
p_{i} & 0,4 & 0,3 & 0,3 & 1 \\ \hline
\end{tabular} }\)
Można wykonać dwa wykresy - wykres dystrybuanty w postaci rosnącej funkcji przedziałami stałej (schodkowej) z zaznaczonymi skokami \(\displaystyle{ p_{i} }\) i wykres prążkowy lub słupkowy \(\displaystyle{ (x_{i}, p_{i} ), i = 1,2,3 }\) rozkładu prawdopodobieństwa na podstawie tabeli.