Matematyka.pl

Dana jest liczba naturalna \(\displaystyle{ n \ge 1. }\) Rozważamy tabelę zbudowaną z \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2} }\) okienek, ustawionych w \(\displaystyle{ n}\) rzędach: jedno okienko w pierwszym rzedzie, dwa w drugim itd., \(\displaystyle{ n}\) okienek w \(\displaystyle{ n}\)-tym rzędzie. W okienka tabeli wpisujemy w sposób losowy liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2} }\). Niech \(\displaystyle{ m_k}\) będzie największą z liczb w \(\displaystyle{ k}\)-tym rzędzie. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że \(\displaystyle{ m_1 < m_2 <...<m_n.}\)

Dla uproszczenia zapisu będę używał liczby trójkątnej \(\displaystyle{ T_i=\frac{i(i+1)}{2}}\)

Konstrukcja zdarzenia sprzyjającego:
Do n-tego rzędu wybieram liczbę największą i (n-1) dowolnych liczb. Można to zrobić na :
\(\displaystyle{ {T_n \choose 1} {T_n-1 \choose n-1}n!}\) sposobów.
Do (n-1)-go rzędu wybieram liczbę największą i (n-2) dowolnych liczb. Można to zrobić na :
\(\displaystyle{ {T_{n-1} \choose 1} {T_{n-1}-1 \choose n-2}(n-1)!}\) sposobów.
Do (n-2)-go rzędu wybieram liczbę największą i (n-3) dowolnych liczb. Można to zrobić na :
\(\displaystyle{ {T_{n-2} \choose 1} {T_{n-2}-1 \choose n-3}(n-2)!}\) sposobów.
itd.

\(\displaystyle{ P= \frac{ \prod_{i=n}^{1} {T_i \choose 1} {T_i-1 \choose i-1}i!}{T_n!}}\)