Matematyka.pl

Po południu w prywatnej przychodni pracuje trzech stomatologów. Pewnego popołudnia stomatolodzy tej przychodni przyjęli sześciu pacjentów. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:

\(\displaystyle{ A}\) - każdy z lekarzy przyjął co najwyżej pięciu pacjentów

\(\displaystyle{ B}\) - każdy z lekarzy przyjął co najwyżej czterech pacjentów

Czy poprawne odpowiedzi to: \(\displaystyle{ P\left(A\right)=\frac{242}{243}}\) oraz \(\displaystyle{ P\left(B\right)=\frac{230}{243}}\)

?

Nie podawaj odpowiedzi, tylko rozumowanie, które Cię do nich doprowadziło.
W matematyce jest tak, że jeżeli przeprowadzisz poprawne rozumowanie, lecz pomylisz się w mało istotnych rachunkach, to dostaniesz ok 80% za zadanie. Jeżeli zaś podasz poprawny wynik, ale wynikający ze złego rozumowania, to dostaniesz 0

\(\displaystyle{ \Omega = \{\omega: \omega = f: \{1,2,3,4,5,6\} \rightarrow (1,2,3)\}.}\)

\(\displaystyle{ |\Omega| = 3^{6} = 729}\) - liczba wszystkich możliwych przyjęć sześciu pacjentów przez trzech stomatologów.

Zakładamy, że każdy z pacjentów nie ma uprzedzeń do stomatologów i ma takie same możliwości być przyjętym przez każdego z nich.

\(\displaystyle{ A' }\) - zdarzenie jeden ze stomatologów przyjął sześciu pacjentów, pozostałych dwóch stomatologów nie przyjęło żadnego pacjenta.

\(\displaystyle{ |A'| = {6\choose 6}\cdot {3\choose 1}\cdot {2\choose 0} = 3 }\)

\(\displaystyle{ P(A') =\frac{|A'|}{|\Omega|}= \frac{3}{729} = \frac{1}{243}.}\)

\(\displaystyle{ P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{1}{243} = \frac{242}{243}.}\)


\(\displaystyle{ B' }\) - zdarzenie jeden ze stomatologów przyjął pięciu pacjentów , szóstego pacjenta przyjął jeden z dwóch pozostałych stomatologów lub wszyscy pacjenci zostali przyjęci przez jednego z trzech stomatologów.

\(\displaystyle{ |B'| = {6\choose 5}\cdot {3\choose 1}\cdot {2\choose 1} + 3 = 6\cdot 3 \cdot 2 +3 =39. }\)

\(\displaystyle{ P(B') = \frac{|B'|}{|\Omega|} = \frac{39}{729}= \frac{13}{243}.}\)

\(\displaystyle{ P(B) = 1 - P(B') = 1 - \frac{13}{243} = \frac{230}{243}.}\)

Rozumiem, że niepoprawne rozumowanie może prowadzić do poprawnego wyniku. Jednak przy trzycyfrowych liczbach jestem gotów ponieść to ryzyko. Dziękuję za pomoc!