Matematyka.pl

Wybieramy ciąg A B złożony z 10 liter.
Rzucamy wielokrotnie symetryczną monetą, jeśli jest reszka to piszemy A, w przeciwnym przypadku piszemy B.
Jakie jest prawdopodobieństwo że wybrany ciąg wystąpi kiedyś jako spójny podciąg?

Jeśli liczba rzutów nie jest z góry zadana, tj. rzucamy aż do momentu wystąpienia podciągu, to prawdopodobieństwo wynosi jeden.

Jaki byłby tego dowód?
Próbowałem czegoś takiego
\(\displaystyle{ P_{k} }\) - prawopodobieństwo że ciąg wystąpi po k rzutach
Prawdopodobieństwo że wystąpił rzut wcześniej + że nie wystąpił
\(\displaystyle{ P_{k} = P_{k-1} + (1-P_{k-1})\cdot \frac{1}{ 2^{10}} }\)

Grupujemy rzuty w ciągi długości \(\displaystyle{ 10}\). W każdej grupie prawdopodobieństwo otrzymania wybranego ciągu wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2^{10}}}\) i te zdarzenia są niezależne. Zatem szansa, że dla szeregu \(\displaystyle{ n}\) grup wybrany ciąg nie wystąpi w żadnej z nich, jest równe \(\displaystyle{ \left( 1 - \frac{1}{2^{10}} \right)^n}\) i dąży do zera przy \(\displaystyle{ n \to \infty}\). Tym bardziej dąży do zera szansa, że wybrany ciąg nie wystąpi nigdzie po pierwszych \(\displaystyle{ 10n}\) rzutach.