Matematyka.pl

Wyznaczyć funkcję charakterystyczną rozkładu Laplace'a o gęstości
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2\lambda} e ^{ \frac{-\left| x - m\right| }{\lambda} }}\).

\(\displaystyle{ (1)}\) Policzyłam gęstość dla \(\displaystyle{ m = 0}\) i \(\displaystyle{ \lambda = 1}\)
\(\displaystyle{ \Phi(t) = \frac{1}{1 + t ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ (2)}\) Wiem, że jeśli \(\displaystyle{ X \approx L(m, \lambda)}\) to \(\displaystyle{ \lambda(X - m) \approx L(0,1)}\), ale szczerze mówiąc nie umiem tego wykorzystać

Proszę o pomoc i wskazówki

Korzystamy z twierdzenia:

Jeśli zmienna losowa \(\displaystyle{ \xi}\) ma funkcję charakterystyczną \(\displaystyle{ \phi_{\xi}(t),}\) to funkcja charakterystyczna zmiennej losowa \(\displaystyle{ \eta = a\cdot \xi +b}\) ma postać:

\(\displaystyle{ \phi_{\eta} = \phi_{a\cdot \xi + b}(t) = e^{i \cdot t\cdot b}\phi_{\xi}(a\cdot t)}\) (proszę udowodnić).

W tym przypadku

\(\displaystyle{ \phi_{\xi}(t) = \frac{1}{1 +t^2}}\)

\(\displaystyle{ \phi_{\eta}(t) = \phi_{\lambda \cdot x + m } = \frac{e^{i\cdot t\cdot m}}{1 +(\lambda\cdot t)^2} \ \ (1)}\)

Funkcja charakterystyczna rozkładu Laplace'a o gęstości

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{2\lambda} e^{-\frac{|x -m|}{\lambda}}}\) dana jest wzorem \(\displaystyle{ (1).}\)