Matematyka.pl

Chodzi o obliczenia prawdopodobieństw, do wykorzystania w grze podobnej do remika.

Założenia:
Jest 270 kart. Składa się na tę liczbę pięć kompletów kart. Komplet to karty z cyframi od 1 do 9. Każda cyfra występuje w trzech kolorach (np. czerwony, żółty, niebieski) i wpisana jest w dwa kształty (np. kwadrat i trójkąt).
Tak więc mamy 5 (kompletów) x 9 (cyfr) x 3 (kolory) x 2 (kształty) = 270 kart
Bardziej szczegółowo wygląda to tak, że mamy:
- 5 jednakowych cyfr w tym samym kolorze i tym samym kształcie
- 10 jednakowych cyfr w tym samym kolorze i różnym kształcie
- 15 jednakowych cyfr w różnym kolorze i tym samym kształcie
- 30 jednakowych cyfr w różnym kolorze i kształcie

Następuje losowy wybór 50 kart spośród wszystkich 270.

Do obliczenia:
I. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania spośród tych 50 kart dokładnie:
a) 1, 2, 3, 4 i 5 kart (dla jasności – pięć obliczeń i wyników) w tym samym kolorze i tym samym kształcie
b) 1, 2, 3…, 10 kart w tym samym kolorze i różnym kształcie
c) 1, 2, 3…, 15 kart w różnym kolorze i tym samym kształcie
d) 1, 2, 3…, 30 kart w różnym kolorze i kształcie

Kolejne obliczenia będą dotyczyć prawdopodobieństwa występowania sekwencji spośród losowo wybranych 50 kart. Sekwencja to kolejne cyfry, min. 3, np. (1,2,3), (1,2,3,4,5,6), (5,6,7,8).

II. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania spośród 50, tylu i takich kart, które będą tworzyć sekwencje: 3cyfrowe, 4cyfrowe, 5cyfrowe, 6cyfrowe, 7cyfrowe, 8cyfrowe i 9cyfrowe
a) w tym samym kolorze i tym samym kształcie
b) w tym samym kolorze i różnym kształcie
c) w różnym kolorze i tym samym kształcie

Jeśli dobrze rozumiem, to potrzebne są zaledwie dwa wzory - na obliczanie prawdopodobieństwa wystąpienia danej grupy oraz sekwencji kart.

Co do I. to przykładowe obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania spośród 50 kart dokładnie 5 w tym samym kolorze i tym samym kształcie:
Zbiór kart dzielimy na 6 rodzajów: 45 czerwonych kwadratowych, 45 żółtych kwadratowych, 45 niebieskich kwadratowych, 45 czerwonych trójkątnych, 45 żółtych trójkątnych, 45 niebieskich trójkątnych. W ogóle nie uwzględniamy numerów kart.
\(\displaystyle{ P=\frac{6\cdot {45 \choose 5} \cdot\left[ {45+5-1 \choose 5-1} - {5 \choose 1}\cdot {40+4-1 \choose 4-1} \right ]}{{270 \choose 50}} }\)
6 oznacza liczbę sposobów wyboru danego rodzaju karty, \(\displaystyle{ {45 \choose 5} }\) wiadomo liczba sposobów wyboru pięciu sztuk kart które będą tego samego koloru i kształtu, \(\displaystyle{ {45+5-1 \choose 5-1}}\) oznacza liczbę konfiguracji ilości pozostałych pięciu rodzajów kart. Czyli wśród wybranych 50 kart zostało 45 sztuk, i mogą one wystąpić w różnych ilościach (np. \(\displaystyle{ 45 = 15+12+3+1+14}\), i wiele wiele innych). Jest to problem rodzaju: ile jest nieujemnych całkowitych rozwiązań równania \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=45}\) i na to jest wzór \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1} }\) gdzie (akurat u nas) \(\displaystyle{ n=45, \ k=5}\). Jednak może się przydarzyć że jeszcze inny rodzaj kart może też wystąpić 5 razy a rozumiem że tego nie chcemy. Stąd bierze się \(\displaystyle{ {5 \choose 1}\cdot {40+4-1 \choose 4-1}}\) czyli na \(\displaystyle{ {5 \choose 1} }\) sposobów wybieramy ten inny rodzaj kart który wystąpi pięć razy, dalej \(\displaystyle{ {40+4-1 \choose 4-1}}\) oznacza liczbę konfiguracji ilości pozostałych czterech rodzajów kart - problem typu: ile jest nieujemnych całkowitych rozwiązań równania \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4=40}\). Stosujemy wzór \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1} }\) dla \(\displaystyle{ n=40, \ k=4}\).