Matematyka.pl

Pierwszy gracz rzuca trzema, a drugi dwiema jednakowymi monetami o nominale 1zł. Wygrywa i dostaje wszystkie pięć monet ten z graczy, który wyrzuci więcej orłów. W przypadku, gdy liczby wyrzuconych orłów są równe, gra jest kontynuowana. Obliczyć wartość oczekiwaną wygranej każdego z graczy.

Dla jednej tury gry:
Pierwszy gracz wygrywa wyrzucając 3 orły lub 2 orły lub 1 orła z prawdopodobieństwem:
\(\displaystyle{ p(w)= \frac{1}{8} \cdot 1+ \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{4}+ \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{4}= \frac{16}{32} }\)
Pierwszy gracz remisuje wyrzucając 2 orły lub 1 orła lub same reszki z prawdopodobieństwem:
\(\displaystyle{ p(r)= \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{4} + \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{4}+ \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4}= \frac{10}{32} }\)
Pierwszy gracz przegrywa wyrzucając 1 orła lub same reszki z prawdopodobieństwem:
\(\displaystyle{ p(p)= \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{4}= \frac{6}{32} }\)

Dla całej gry:
Gracz pierwszy wygrywa 2 zł z prawdopodobieństwem: \(\displaystyle{ P(W)=p(w)+p(r)p(w)+p(r)^2p(w)+p(r)^3p(w)+...= \frac{8}{11} }\)
Gracz pierwszy przegrywa 3 zł z prawdopodobieństwem: \(\displaystyle{ P(W)=p(p)+p(r)p(p)+p(r)^2p(p)+p(r)^3p(p)+...= \frac{3}{11} }\)

\(\displaystyle{ E(I)=(-3) \cdot \frac{3}{11} +2 \cdot\frac{8}{11}= \frac{7}{11}}\)

Dla drugiego gracza
\(\displaystyle{ E(II)=-E(I)=\frac{-7}{11}
}\)