Matematyka.pl

Z urny zawierającej \(\displaystyle{ n}\) kul ponumerowanych liczbami od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\) losujemy \(\displaystyle{ k}\) razy po jednej kuli ze zwracaniem. Niech \(\displaystyle{ X, Y}\) oznaczają odpowiednio najmniejszy oraz największy z wyciągniętych numerów. Wykazać, że \(\displaystyle{ EX+ EY = n + 1}\).

\(\displaystyle{ P(X=1)= \frac{n^k-(n-1)^k}{n^k}\\
P(X=2)= \frac{(n-1)^k-(n-2)^k}{n^k}\\
P(X=3)= \frac{(n-2)^k-(n-3)^k}{n^k}\\
...\\
P(X=n-1)= \frac{2^k-1^k}{n^k}\\
P(X=n)= \frac{1^k}{n^k}\\
E(X)= \frac{1}{n^k}\left[ 1 \cdot \left( n^k-(n-1)^k\right)+2 \cdot \left((n-1)^k-(n-2)^k \right)+3 \cdot \left( (n-2)^k-(n-3)^k\right)+...+(n-1) \cdot \left( 2^k-1\right)+n \cdot 1 \right]= \\
=\frac{1}{n^k}\left[ n^k+(n-1)^k+(n-2)^k+(n-3)^k+...+2^k+1\right]
}\)

\(\displaystyle{ P(Y=1)= \frac{1^k}{n^k}\\
P(Y=2)= \frac{2^k-1^k}{n^k}\\
P(Y=3)= \frac{3^k-2^k}{n^k}\\
...\\
P(Y=n-1)= \frac{(n-1)^k-(n-2)^k}{n^k}\\
P(Y=n)= \frac{n^k-(n-1)^k}{n^k}\\
E(Y)= \frac{1}{n^k}\left[ 1 \cdot 1^k+2 \cdot \left(2^k-1^k \right)+3 \cdot \left( 3^k-2^k\right)+...+(n-1) \cdot \left( (n-1)^k-(n-2)^k\right)+n \cdot \left( n^k-(n-1)^k\right) \right]= \\
=\frac{1}{n^k}\left[ -1^k-2^k-3^k-...-(n-1)^k+n^{k+1}\right] \\
\\
E(X)+E(Y)= \frac{n^k+n^{k+1}}{n^k}=1+n
}\)

`E(n+1-X)=E(Y)`