Matematyka.pl

Witam.
Dawno nie siedziałem w matematyce i mam problem z zadaniem a raczej z rozróżnieniem czy powinienem użyć kombinacji czy wariacji w danym zadaniu.

Żeby nie przedłużać zadanie brzmi:

W pudełku jest 8 kul białych, 5 czerwonych i 3 czarne. Losujemy niezależnie 3 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania 3 kul białych jeśli:
a) losujemy bez zwracania
b) po każdym losowaniu zwracamy wylosowaną kulę do pudełka

W ostatecznym rozrachunku zasadniczo kolejność losowania nie ma znaczenia więc użyłbym kombinacji, ale czy to właściwe podejście?

Może zamiast zastanawiania się nad nazwą (kombinacje, wariacje czy cokolwiek innego) po prostu pomyśl: na ile sposobów możesz wybrać trzy kule z 16? A ile tych sposobów da Ci sukces?

W b) - jaką masz szansę wylosowania białej kuli w jednym losowaniu?

Losujemy niezależnie trzy kule z pojemnika, w którym znajduje się \(\displaystyle{ 8 }\) kul białych, \(\displaystyle{ 5 }\) czerwonych i \(\displaystyle{ 3 }\) kule czarne.

Zakładamy, że wylosowanie każdej trójki kul jest jednakowo możliwe i kule każdego koloru są rozróżnialne.

a)
Losowanie bez zwracania.

Możemy rozróżnić:

\(\displaystyle{ a_{1}) }\)
-losowanie jednoczesne bez zwracaniem trzech kul

\(\displaystyle{ a_{2}) }\)
- losowanie kolejne bez zwracania trzech kul

Model \(\displaystyle{ a_{1}) }\)

\(\displaystyle{ \Omega_{1} = \{\omega: \omega = f \uparrow : \{1, 2,..., 16\} \rightarrow \{1,2,3\}\}. }\)

\(\displaystyle{ |\Omega_{1}| = C_{16}^{3} = {16 \choose 3}. }\)

\(\displaystyle{ A _{1}}\) - zdarzenie wylosowano trzy kule białe.

\(\displaystyle{ A_{1} = \{\omega: \omega = f \uparrow : \{1,2,..., 8\} \rightarrow \{1,2,3\}\}.}\)

\(\displaystyle{ |A_{1}| = C_{8}^{3} = {8\choose 3}. }\)

\(\displaystyle{ P(A_{1}) = \frac{|A_{1}|}{|\Omega_{1}|}.}\)

\(\displaystyle{ P(A_{1}) = \frac{{8\choose 3}}{{16\choose 3}} = \frac{1}{10}.}\)

Model \(\displaystyle{ a_{2}) }\)

\(\displaystyle{ \Omega_{2} = \{\omega: \omega = f_{\text{różnowartościowe}} : \{1,2,..., 16\} \rightarrow \{1,2,3\} \}. }\)

\(\displaystyle{ |\Omega_{2}| = V_{16}^{3} = \frac{16!}{(16-3)!} = 14\cdot 15 \cdot 16. }\)

\(\displaystyle{ A_{2} }\) - zdarzenie " wylosowano trzy kule białe "

\(\displaystyle{ A_{2}= \{\omega: \omega = f_{\text{różnowartościowe}} : \{1,2,...,8\} \rightarrow \{1,2,3\} \}. }\)

\(\displaystyle{ |A_{2}| = V_{8}^{3} = \frac{8!}{(8-3)!} = 6\cdot 7 \cdot 8. }\)

\(\displaystyle{ P(A_{2}) = \frac{|A_{2}|}{|\Omega_{2}|}.}\)

\(\displaystyle{ P(A_{2}) = \frac{6\cdot 7 \cdot 8}{14\cdot 15\cdot 16} = \frac{1}{10}.}\)

Zauważamy, że sposób losowania nie wpływa na wartość prawdopodobieństwa.

\(\displaystyle{ b)}\)
Losowanie ze zwracaniem

Model \(\displaystyle{ b) }\)

\(\displaystyle{ \Omega_{3} = \{\omega: \omega = f : \{1, 2,..., 16\} \rightarrow \{1,2,3\}\}. }\)

\(\displaystyle{ |\Omega_{3}| = W_{16}^{3} = 16^{3}. }\)

\(\displaystyle{ A_{3} }\) - zdarzenie " wylosowano trzy kule białe ".

\(\displaystyle{ A_{3} = \{ \omega: \omega = f : \{ 1,2,...,8\} \rightarrow \{1,2,3\}\} . }\)

\(\displaystyle{ |A_{3}| = W_{8}^{3} = 8^{3}.}\)

\(\displaystyle{ P(A_{3}) = \frac{|A_{3}|}{|\Omega_{3}|}. }\)

\(\displaystyle{ P(A_{3}) = \frac{8^{3}}{16^{3}} = \frac{1}{8}.}\)

W wyniku losowania bez zwracania trzech kul z pojemnika, w którym znajduje się osiem kul białych, pięć czerwonych i trzy kule czarne - możemy oczekiwać, że w \(\displaystyle{ 10\% }\) wszystkich wyników otrzymamy trzy kule białe.

W wyniku losowania ze zwracaniem trzech kul z pojemnika, w którym znajduje się osiem kul białych, pięć czerwonych i trzy kule czarne - możemy oczekiwać, że w \(\displaystyle{ 12,5\% }\) wszystkich wyników otrzymamy trzy kule białe.

Wolę losować tak:
a) b) pierwsza biała i druga biała i trzecia biała

a) \(\displaystyle{ \frac{8}{16} \cdot \frac{7}{15}\cdot \frac{6}{14}}\)
b) analogicznie ale prawdopodobieństwo nie zmienia się w każdym z losowań.

No i piknie

piasek101

Losowanie to czynność, to działanie, które wykonujemy ze zwracaniem, bez zwracania jednocześnie lub kolejno.

Twój zapis, to sposób obliczenia prawdopodobieństwa, uwzględniający prawdopodobieństwo warunkowe. To nie jest losowanie.