Matematyka.pl

Witam serdecznie wszystkich

Stanąłem przed zadaniem, do którego nie wiem jak się zabrać.
W pojemniku znajduje się 5 kulek: 4 czarne i 1 czerwona. W drugim pojemniku znajdują się 3 kule zielone i 1 niebieska.
Losujemy (zawsze ze zwracaniem) kulkę z pierwszego pojemnika. Jeśli wylosowana została czerwona kula zdobywamy jeden punkt, jeśli czarną przechodzimy do drugiego pojemnika. Z drugiego pojemnika jeśli wyciągniemy zieloną kulkę nic się nie dzieje, idziemy do kolejnego losowania. Natomiast jeśli wyciągnięta zostanie niebieska kulka punkty się wyzerowują.
Jakie jest prawdopodobieństwo że:
a) zdobędziemy przynajmniej 10 punktów w 100 losowaniach (liczą się tylko losowania z pierwszego pojemnika)
b) zdobędziemy przynajmniej 18 punktów w 1000 losowaniach.
Prawdopodobieństwo nigdy nie było moją mocną stroną, zawsze dzieliłem je na dwie grupy, te które da się rozwiązać za pomocą drzewka i te niewykonalne .
Największym problemem jest tutaj to, że zdarzenie wylosowania czarnej, a następnie zielonej kulki może wystąpić w teorii nieskończenie wiele razy (oczywiście dążąc do prawdopodobieństwa równego 0). I teraz pytanie czy takie zadanie da się w ogóle wykonać nie ślęcząc pół dnia nad kartką z obliczeniami czy potrzebny jest raczej jakiś matematyczny silnik.
Z góry dziękuję za wszystkie odpowiedzi.

Klucz to zauważyć, że cały proces można spłaszczyć do trójwynikowego losowania przy każdym kroku:

- z prawdopobieństwem \(\displaystyle{ p=\tfrac15}\) trafia się czerwona \(\displaystyle{ R}\) (punkt \(\displaystyle{ +1}\)),
- z prawdopobieństwem \(\displaystyle{ q=\tfrac15}\) trafia się niebieska \(\displaystyle{ B}\) (wyzerowanie punktów),
- z prawdopobieństwem \(\displaystyle{ r=\tfrac35}\) trafia się „nic” \(\displaystyle{ G}\) (stan bez zmiany).

Po \(\displaystyle{ N}\) losowaniach (z pierwszego pojemnika) aktualny wynik to liczba czerwonych \(\displaystyle{ R}\) po ostatniej niebieskiej \(\displaystyle{ B}\) (albo od początku, jeśli \(\displaystyle{ B}\) nie padło).

Niech \(\displaystyle{ M}\) oznacza długość sufiksu bez \(\displaystyle{ B}\) (liczbę kroków od ostatniej \(\displaystyle{ B}\) do końca). Wtedy:
- \(\displaystyle{ \mathbb P(M=m)=q(1-q)^m}\) dla \(\displaystyle{ m=0,\dots,N-1}\), a \(\displaystyle{ \mathbb P(M=N)=(1-q)^N}\);
- warunkowo na brak \(\displaystyle{ B}\), każdy krok ma \(\displaystyle{ R}\) z prawd. \(\displaystyle{ \tfrac{p}{p+r}=\tfrac14}\).
Zatem wynik po \(\displaystyle{ N}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathrm{Bin}(M,\tfrac14)}\).

Z tego dostajemy dokładny wzór
\(\displaystyle{
\mathbb P\big(S_N\ge k\big)
=\sum_{m=0}^{N-1} q(1-q)^m \sum_{j=k}^{m} \binom{m}{j}\!\left(\tfrac14\right)^{\!j}\!\left(\tfrac34\right)^{\!m-j}
\;+\;(1-q)^N \sum_{j=k}^{N} \binom{N}{j}\!\left(\tfrac14\right)^{\!j}\!\left(\tfrac34\right)^{\!N-j},
\qquad (p=q=\tfrac15).
}\)

Co więcej,
\(\displaystyle{
\lim_{N\to\infty}\mathbb P(S_N\ge k)=2^{-k}.
}\)
(Dowód: funkcja tworząca \(\displaystyle{ S_\infty}\) to \(\displaystyle{ G(z)=\tfrac{1}{2-z}}\), więc \(\displaystyle{ \mathbb P(S_\infty\ge k)=\sum_{j=k}^\infty 2^{-(j+1)}=2^{-k}}\).)

Teraz liczby dla Twoich parametrów:

a) \(\displaystyle{ N=100,\;k=10}\).
\(\displaystyle{
\mathbb P(S_{100}\ge 10)\approx 0.00097656 \;\approx\; 2^{-10}.
}\)

b) \(\displaystyle{ N=1000,\;k=18}\).
\(\displaystyle{
\mathbb P(S_{1000}\ge 18)\approx 0.0000038147 \;\approx\; 2^{-18}.
}\)

Musimy pamiętac, że wartości dla skończonego \(\displaystyle{ N}\) są nieco mniejsze niż \(\displaystyle{ 2^{-k}}\) (bo mamy ograniczony horyzont), ale dla \(\displaystyle{ N=100}\) i \(\displaystyle{ N=1000}\) różnice są już w praktyce pomijalne.