Matematyka.pl

Witam.
Mam problem z dwoma zadaniami.
Pierwsze:
Niech T oznacza trójkąt, którego wierzchołki leżą w punktach (0;0) (-1;0) (0;1). Zmienna losowa (X, Y) ma rozkład jednostajny na T. Zmienna losowa Z= X+Y. Znajdź dystrybuantę Z.

Drugie:
Gęstość łączna (nie jestem pewien czy dobrze przetłumaczyłem, ang: joint density) zmiennej losowej (X,Y) wynosi:
\(\displaystyle{ f(x, y)=egin{cases} frac{1}{3} x in [0,1] y in [0,1] \ frac{-y}{3} x in [0,1] y in [-2,0)end{cases}}\)
Znajdź rozkład brzegowy.

Pierwsze nie wiem jak ugryźć, w drugim nie wiem w jaki sposób dobrać limity całki.
Z góry dziękuję za pomoc.

Pierwsze:
Postępujesz w ten sposób. Najpierw zapisujesz co chcesz uzyskać:
\(\displaystyle{ F_{Z}(t)=P(Z \le t ) = P(X+Y \le t)=P(Y \le t-X)}\)
Mamy zatem trójkąt oraz nierówność \(\displaystyle{ y \le t-x}\)
Narysuj sobie ten trójkąt i zobacz jaką część jego powierzchni (w zaleznosci od t) odkraja ta prosta (z nierownosci - powierzchnia wykrojona, to powierzchnia trojkata pod ta prosta).
To co otrzymasz bedzie wlasnie dystrybuanta. Mozliwe ze trzeba bedzie pomnozyc przez jakas stala np 2 lub 1/2, zeby calosc byla w ogole dystrybuanta.
Drugie:
Aby otrzymać gęstość rozkładu brzegowego x całkujesz gęstość rozkładu łączonego po y:
W tym wypadku sumujesz całki oznaczone po y od 0,1 i od -2 do 0.
Dla x analogicznie.

Dziękuję, pierwsze zrozumiałem, w drugim otrzymuję takie równanie (po scałkowaniu, tylko podstawić limity całki):

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} \int_{0}^{1} \frac{y}{3}\ \\ \ \int_{0}^{1} \frac{-y ^{2} }{6} \ \end{cases}}\)

Nie powinienem tu otrzymać funkcji zależnej od x?

Drugi element powinien wyjsc staly, bo w nim nie ma x, a pierwszy to nie wiem skad ci sie wzial.