A, B niezależne. Wykazać...
-
Janek Kos
- Użytkownik
- Posty: 417
- Rejestracja: 20 lis 2005, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 98 razy
A, B niezależne. Wykazać...
\(\displaystyle{ A\ \text{i}\ B\ \text{niezalezne}\ \ \ \ \ \ P(A\capB)=P(A) P(B)}\)
Należy pokazać, że:
\(\displaystyle{ P(A\cap B')=P(A) P(B')}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ P(A)=P(A\cap\Omega)=P\big(A\cap(B\cup B')\big)=P(A\cap B)+P(A\cap B')}\)
stąd:
\(\displaystyle{ P(A\cap B')=P(A)-P(A\cap B)\overset{*}{=}P(A)-P(A)\cdot P(B)=P(A)\cdot \big(1-P(B)\big)\overset{**}{=}P(A)P(B')}\)
Przejście \(\displaystyle{ *}\), to niezależność zdarzeń A i B, a przejście \(\displaystyle{ **}\), to własność \(\displaystyle{ P(B)=1-P(B')}\).
Należy pokazać, że:
\(\displaystyle{ P(A\cap B')=P(A) P(B')}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ P(A)=P(A\cap\Omega)=P\big(A\cap(B\cup B')\big)=P(A\cap B)+P(A\cap B')}\)
stąd:
\(\displaystyle{ P(A\cap B')=P(A)-P(A\cap B)\overset{*}{=}P(A)-P(A)\cdot P(B)=P(A)\cdot \big(1-P(B)\big)\overset{**}{=}P(A)P(B')}\)
Przejście \(\displaystyle{ *}\), to niezależność zdarzeń A i B, a przejście \(\displaystyle{ **}\), to własność \(\displaystyle{ P(B)=1-P(B')}\).