[LVIII OM] III etap (finał)
[LVIII OM] III etap (finał)
Jak by ktoś chciał, zadania z dzisiaj:
4. Dana jest liczba całkowita \(\displaystyle{ n \geqslant 1}\). Wyznaczyć liczbę możliwych wartości iloczynu km, gdzie k, m są liczbami całkowitymi spełniającymi nierówności
\(\displaystyle{ n^2 \leqslant k \leqslant m \leqslant (n+1)^2}\).
5. W czworościanie ABCD spełnione są zależności
\(\displaystyle{ \angle BAC + \angle BDC = \angle ABD + \angle ACD,}\)
\(\displaystyle{ \abgle BAD + \angle BCD = \angle ABC + \angle ADC.}\)
Udowodnij, że środek sfery opisanej na tym czworościanie leży na prostej przechodzącej przez środki krawędzi AB i CD.
6. Ciąg \(\displaystyle{ a_0 , a_1 , a_2 , ...}\)jest określony przez warunki: \(\displaystyle{ a_0=-1}\) oraz
\(\displaystyle{ a_n +\frac{a_{n-1}}{2}+\frac{a_{n-2}}{3}+...+\frac{a_1}{n}+\frac{a_0}{n+1}=0}\) dla \(\displaystyle{ n \geqslant 1}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ a_n>0}\)dla \(\displaystyle{ n qslant 1}\).
Wczoraj były łatwiejsze, jak znajdę to wrzucę. Ja oczywiście sp...artaczyłem ;]
4. Dana jest liczba całkowita \(\displaystyle{ n \geqslant 1}\). Wyznaczyć liczbę możliwych wartości iloczynu km, gdzie k, m są liczbami całkowitymi spełniającymi nierówności
\(\displaystyle{ n^2 \leqslant k \leqslant m \leqslant (n+1)^2}\).
5. W czworościanie ABCD spełnione są zależności
\(\displaystyle{ \angle BAC + \angle BDC = \angle ABD + \angle ACD,}\)
\(\displaystyle{ \abgle BAD + \angle BCD = \angle ABC + \angle ADC.}\)
Udowodnij, że środek sfery opisanej na tym czworościanie leży na prostej przechodzącej przez środki krawędzi AB i CD.
6. Ciąg \(\displaystyle{ a_0 , a_1 , a_2 , ...}\)jest określony przez warunki: \(\displaystyle{ a_0=-1}\) oraz
\(\displaystyle{ a_n +\frac{a_{n-1}}{2}+\frac{a_{n-2}}{3}+...+\frac{a_1}{n}+\frac{a_0}{n+1}=0}\) dla \(\displaystyle{ n \geqslant 1}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ a_n>0}\)dla \(\displaystyle{ n qslant 1}\).
Wczoraj były łatwiejsze, jak znajdę to wrzucę. Ja oczywiście sp...artaczyłem ;]
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 28 lis 2005, o 19:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska...
- Podziękował: 2 razy
[LVIII OM] III etap (finał)
Oto dzien pierwszy, 18 kwiecien.
1. W trójkącie ostrokątnym ABC punkt O jest środkiem okręgu opisanego, odcinek CD jest wysokością, punkt E leży na boku AB, a punkt M jest środkiem odcinka CE. Prosta prostopadła do prostej OM i przechodzaca przez M przecina proste AC i BC odpowiednio w punktach K i L. Dowieść, że
\(\displaystyle{ \frac{LM}{MK} = \frac{AD}{DB}}\)
2. Liczbę całkowitą dodatnią nazwiemy białą, jeżeli jest równa 1 lub jest iloczynem parzystej liczby liczb pierwszysch (niekoniecznie różnych). Pozostałe liczby całkowite dodatnie nazwiemy czarnymi. Rozstrzygnać, czy istnieje liczba całkowita dodatnia, ze suma jej białych dzielników jest rowna sumie jej czarnych dzielników.
3. Płaszczyznę podzielono prostymi poziomymi i pionowymi na kwadraty jednostkowe. W kazdy kwadrat nalezy wpisać liczbę calkowitą dodatnia tak, by każda liczba całkowita dodatnia wystąpiła na płaszczyźnie dokładnie raz. Rozstrzygnąć, czy można to uczynić w taki sposób, aby każda napisana liczba była dzielnikiem sumy liczb wpisanych w 4 kwadraty sąsiednie.
1. W trójkącie ostrokątnym ABC punkt O jest środkiem okręgu opisanego, odcinek CD jest wysokością, punkt E leży na boku AB, a punkt M jest środkiem odcinka CE. Prosta prostopadła do prostej OM i przechodzaca przez M przecina proste AC i BC odpowiednio w punktach K i L. Dowieść, że
\(\displaystyle{ \frac{LM}{MK} = \frac{AD}{DB}}\)
2. Liczbę całkowitą dodatnią nazwiemy białą, jeżeli jest równa 1 lub jest iloczynem parzystej liczby liczb pierwszysch (niekoniecznie różnych). Pozostałe liczby całkowite dodatnie nazwiemy czarnymi. Rozstrzygnać, czy istnieje liczba całkowita dodatnia, ze suma jej białych dzielników jest rowna sumie jej czarnych dzielników.
3. Płaszczyznę podzielono prostymi poziomymi i pionowymi na kwadraty jednostkowe. W kazdy kwadrat nalezy wpisać liczbę calkowitą dodatnia tak, by każda liczba całkowita dodatnia wystąpiła na płaszczyźnie dokładnie raz. Rozstrzygnąć, czy można to uczynić w taki sposób, aby każda napisana liczba była dzielnikiem sumy liczb wpisanych w 4 kwadraty sąsiednie.
-
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 1 lis 2006, o 20:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Pomógł: 2 razy
[LVIII OM] III etap (finał)
hm... z tego co wiem, to jak to powiedzial przewodniczacy komitetu: "odtwarzacze M35" no i plus ksiazki jakies oczywiscie.
- qsiarz
- Użytkownik
- Posty: 202
- Rejestracja: 15 kwie 2006, o 15:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bytom
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 18 razy
[LVIII OM] III etap (finał)
wyniki ostateczne za miesiac (czekaja na odwolania ewentualne)
i to byly em-piec-trzy jakas nowa generacj. zadania byly do zrobienia, ale niestety nie udalo mi sie napisac na tyle ile bym chcial, zostaje jeszcze przyszly rok...
i to byly em-piec-trzy jakas nowa generacj. zadania byly do zrobienia, ale niestety nie udalo mi sie napisac na tyle ile bym chcial, zostaje jeszcze przyszly rok...
[LVIII OM] III etap (finał)
Jak się zna rozwiązania to zadanka nie wydają się strasznie hardcore'owe... ale na 4-tym dużo ludzi się przejechało - 0 mieli, chociaż wcześniej myśleli, że mają dobrze...
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 21 kwie 2007, o 21:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stalowa Wola
[LVIII OM] III etap (finał)
A ja tylko chciałem pogratulować wszystkim finalistom I zapraszamy znów do Stalowej Woli.
PS. Pozdrowienia ogólnopolskie dla Maćka "Voovera" Wawry, bo dziś mnie zdjęli ze sceny
PS. Pozdrowienia ogólnopolskie dla Maćka "Voovera" Wawry, bo dziś mnie zdjęli ze sceny
-
- Użytkownik
- Posty: 149
- Rejestracja: 14 kwie 2007, o 20:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
[LVIII OM] III etap (finał)
Naprawdę? W tamtym roku było inaczej A z resztą- i tak nie wiem, którego stopnia byłaś laureatką... No to zakończył się kolejny odcinek Olimpiady, na następny trzeba poczekać do końca wakacji*Kasia pisze:Kibu, ja się nie chcę czepiać, ale wycieczkę do Stalowej na OMG mieli tylko laureaci pierwszego stopnia.