Matematyka.pl

Nie wiem czy w dobrym dziale ale potrzebuje podpowiedzi do zadania:
Znajdź liczby całkowite a,b wiedząc że \(\displaystyle{ NWD(a,b)=1}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{a+b}{a ^{2} + ab + b^{2} } = \frac{3}{13}}\)

Równanie \(\displaystyle{ \frac{a+b}{a ^{2} + ab + b^{2} } = \frac{3}{13}}\) ma skończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych. Można wypisać wszystkie takie pary \(\displaystyle{ (a_0,b_0)}\) i sprawdzić czy \(\displaystyle{ \NWD(a_0,b_0)=1}\)

Załóżmy wpierw, że \(\displaystyle{ a,b}\) są dodatnie.
Po wymnożeniu na pałasza przez mianowniki:
\(\displaystyle{ 13(a+b)=3(a^2+ab+b^2)}\)
Wszelakoż nietrudno pokazać, że dla naszych \(\displaystyle{ a,b}\):
\(\displaystyle{ a^2+ab+b^2= \frac{(a+b)^2}{2}+ \frac{a^2+b^2}{2} > \frac{3}{4}(a+b)^2}\) (równość nie zajdzie, bo gdyby \(\displaystyle{ a, b}\) były równe, to nie byłyby względnie pierwsze, poza przypadkiem \(\displaystyle{ a=b=1}\), który łatwo wykluczyć ręcznie), więc musi być też
\(\displaystyle{ 13(a+b) >\frac{9}{4}\left( a+b\right)^2\\ 52> 9(a+b)}\)
Czyli z uwagi na całkowitość wyrażenia \(\displaystyle{ a+b}\) mamy w istocie
\(\displaystyle{ 45\ge 9(a+b)}\), tj. \(\displaystyle{ 5\ge a+b}\).
No to sprawdzamy (z uwagi na symetrię można bez straty ogólności przyjąć np. \(\displaystyle{ a>b}\)) względnie pierwsze o sumie nieprzekraczającej \(\displaystyle{ 5}\):
\(\displaystyle{ (a,b)=(2,1), (a,b)=(3,1), (a,b)=(3,2), (a,b)=(4,1)/tex]
Teraz zauważmy, że z równości
\(\displaystyle{ 13(a+b)=3(a^2+ab+b^2)}\) wynika w szczególności, że \(\displaystyle{ 3|(a+b)}\), więc z tego wszystkiego zostaje jeden przypadek (w którym chyba nie wyjdzie rozwiązanie).

Teraz przypuśćmy, że \(\displaystyle{ b}\) jest ujemne (obie nie mogą być ujemne, bo wówczas lewa strona jest ujemna, a prawa dodatnia). Może też jakieś szacowania pomogą?}\)

Nie tylko.

Równanie to:
\(\displaystyle{ 13(a+b)=3(a^2+ab+b^2)}\)

Zauważmy, że \(\displaystyle{ a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab}\).

Stąd \(\displaystyle{ NWD(a+b,a^2+ab+b^2)=NWD(a+b,ab)=1}\), bo \(\displaystyle{ NWD(a+b,a)=NWD(a+b,b)=1}\).

Ponadto \(\displaystyle{ NWD(13,3)=1}\).

Czyli \(\displaystyle{ 13|(a^2+ab+b^2)}\) oraz \(\displaystyle{ (a^2+ab+b^2)|13}\), a także \(\displaystyle{ (a+b)|3}\) oraz \(\displaystyle{ 3|(a+b)}\).

To oznacza, że \(\displaystyle{ a^2+ab+b^2=13}\) (opcja z minusem odpada, co praktycznie pokazał Premislav), a także \(\displaystyle{ a+b=\pm 3}\).

Dalej łatwo.

Dzięki!!

Jeszcze inaczej:
Wyjściowe równanie przekształcam do wielomianu względem niewiadomej a:
\(\displaystyle{ 3a^2+a(3b-13)+b(3b-13)=0\\
\Delta=(3b-13)(-9b-13)}\)
wyróżnik jest nieujemny dla \(\displaystyle{ b \in \left\{ -1,0,1,2,3,4\right\}}\)
Wystarczy sprawdzić dla której z wartości b wyróżnik jest kwadratem, oraz sprawdzić całkowitość pierwiastków trójmianu dla takich b.