Matematyka.pl

Znajdź liczbę wiedząc, że suma jej cyfr wynosi 6 i ma dokładnie 4 dzielniki, których suma wynosi 192. Odpowiedź uzasadnij.

Jeśli ma dokładnie \(\displaystyle{ 3}\) dzielniki, to albo jest równa \(\displaystyle{ p^3}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, albo \(\displaystyle{ pq}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są różnymi liczbami pierwszymi.

W pierwszym przypadku suma dzielników jest równa \(\displaystyle{ 1+p+p^2+p^3=192}\). Lewa strona jest monotoniczną funkcją \(\displaystyle{ p}\), skąd łatwo otrzymujemy sprzeczność \(\displaystyle{ 5<p<7}\).

W drugim przypadku suma dzielników jest równa \(\displaystyle{ 1+p+q+pq=(1+p)(1+q)=192}\) i dalej można poznajdować możliwe rozkłady \(\displaystyle{ 192=2^6\cdot3}\) na dwa czynniki.

dzięki, możemy sobie tutaj dodatkowo ułatwić ponieważ suma cyfr jest 6 więc liczba musi być podzielna przez 3 wtedy pierwszy szybko odpada ( zadanie na poziomie gimnazjum, wiec wielomianow nie znaja ) a z drugiego mamy szybko odpowiedz

wielkie dzieki za sposob rozwiązania

Dobry pomysł, żeby od razu wykorzystać podzielność przez \(\displaystyle{ 3}\). W takim razie jednym z dzielników pierwszych jest \(\displaystyle{ 3}\), czyli b. s. o. \(\displaystyle{ p=3}\). Stąd łatwo wyliczamy \(\displaystyle{ q=\frac{192}{p+1}-1=47}\). Zatem szukana liczba to \(\displaystyle{ 3\cdot47=141}\).