Matematyka.pl

Wykaż, że dla \(\displaystyle{ a,b,c\in \mathbb{Z}}\):
\(\displaystyle{ NWW(a,NWW(b,c))=NWW(NWW(a,b),c)}\)

Mnie w szkole nie uczono, co to jest \(\displaystyle{ \NWW}\) dla dowolnych całkowitych. Wyjaśnisz?
Chodzi wtedy o najmniejszą co do wartości bezwzględnej wielokrotność danych liczb? Nie bardzo się to trzyma kupy.

Dla naturalnych dodatnich to nie jest zbyt trudne, o ile posłużymy się pojęciem rozkładu na czynniki pierwsze.
Niech
\(\displaystyle{ a= \prod_{i=1}^{ \infty } p_i^{a_i}, \ b= \prod_{i=1}^{ \infty }\p_i^{b_i}, \ c= \prod_{i=1}^{ \infty }p_i^{c_i}}\)
gdzie \(\displaystyle{ p_i}\) to kolejne liczby pierwsze, zaś wykładniki \(\displaystyle{ a_i, b_i, c_i}\) są całkowite nieujemne (w praktyce oczywiście te iloczyny są skończone dla ustalonych \(\displaystyle{ a,b,c \in \NN^+}\), gdyż tylko dla skończenie wielu indeksów wykładniki są różne od zera).
Wtenczas mamy
\(\displaystyle{ \NWW(a,b)= \prod_{i=1}^{ \infty } p_i^{\max(a_i, b_i)}}\) (chyba widać czemu jest to prawdą) i tak dalej. Na pewno sobie poradzisz.
Pzdr-- 3 lis 2017, o 16:09 --Jeżeli wykażesz, że \(\displaystyle{ \NWW(a,b)= \prod_{i=1}^{ \infty } p_i^{\max(a_i, b_i)}}\), to dalej w zasadzie wystarczy uzasadnić tożsamość
\(\displaystyle{ \max(x, \max(y,z))=\max(\max(x,y), z)}\)

Rzeczywiście, można i tak. Ja myślałem o jakichś przekształceniach związanych z zależnością \(\displaystyle{ NWD(a,b)\cdot NWW(a,b)=ab}\), ale chyba nie tędy droga...

PS nie rozumiem pytania o "NWW dowolnych liczb całkowitych"

No, napisałeś "dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c \in \ZZ}\)", więc ja się pytam, co to jest np. \(\displaystyle{ \NWW(-5,13)}\). Przecież takie całkowite wielokrotności mogą być dowolnie małe. Nie spotkałem się też nigdy z czymś takim, jak \(\displaystyle{ \NWW}\) dla liczb, które mogą być ujemne (możliwe że to mój brak obycia).
Też początkowo próbowałem kombinować ze wzorkiem wiążącym \(\displaystyle{ \NWW(a,b)}\) z \(\displaystyle{ \NWD(a,b)}\), ale wygląda na to, że nie jest to w tym przypadku prostsza droga do celu.

Z definicji \(\displaystyle{ m=NWW(a,b)}\), to taka liczba naturalna, że \(\displaystyle{ a|m}\) i \(\displaystyle{ b|m}\) i ponadto \(\displaystyle{ m}\) dzieli każdą wspólną wielokrotność \(\displaystyle{ a, b}\). Wobec tej definicji \(\displaystyle{ NWW(a,b)=NWW(|a|, |b|)}\)... Możesz więc założyć, że liczby z zadania są naturalne.-- 4 lis 2017, o 12:47 --Tak się teraz zastanawiam... Premislav, czy prawdą jest \(\displaystyle{ NWW(x, y, z)=NWW(NWW(x, y), z)}\)

Aha, no to nie znałem dokładnej definicji \(\displaystyle{ \NWW}\), bywa.

Nie widziałem wcześniej dopisanego tekstu. Tak, równość \(\displaystyle{ \NWW(x, y, z)=\NWW(NWW(x, y), z)}\) jest prawdziwa. Można to uzasadnić w podobnym stylu jak powyżej pisałem.

OK, dzięki za potwierdzenie