Matematyka.pl

10. Największy wspólny dzielnik dwóch liczb naturalnych wynosi 6, a najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb jest równa 210. Znajdź te liczby.

11. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba \(\displaystyle{ n^{5} - n}\) jest podzielna przez 30.

12. Wykaż że jeśli liczba p jest liczbą pierwszą większą od 3, to \(\displaystyle{ p^{2} - 1}\) jest liczba podzielna przez 24.

13. Wykaż, że jeżeli liczba n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to liczba 5n również ma tę własność.

12.
(p-1)(p+1) jedna jest podzielna przez 4 druga przez 6

kolanko skąd ten wniosek?

TUTAJ jest to zadanie rozwiązane (12)

No a co zle ?

kolanko - nie chodzi o to, że źle. ALe skoro ktoś zadaje pytania, to warto byłoby dać jakieś wyjaśnienie i komentarz do odpowiedzi.

Zad.13
Z założenia mamy, że \(\displaystyle{ n=a^2 +b^2}\). Czyli \(\displaystyle{ 5n=5(a^2 +b^2)}\). Mamy wykazać, że liczba \(\displaystyle{ 5n}\) też jest sumą dwóch kwadratów liczb naturalnych. Zauważmy, że \(\displaystyle{ 5n=5a^2+5b^2=4a^2+b^2+4b^2+a^2=4a^2+4ab+b^2+4b^2-4ab+a^2=(2a+b)^2+(2b-a)^2}\). Tak więc teza zadania została wykazana.

kolanko, jednak chyba zle, bo jedna moze byc podzielna przez 12 a druga przez 2 przyklad: p=11