Matematyka.pl

Cześć.
Mam problem z kilkoma zadaniami.

1.
Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ 2n}\) mają takie same sumy cyfr, to liczba \(\displaystyle{ n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 9}\).

2.
a)
Udowodnij, że różnica dwóch liczb o tych samych cyfrach jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 9}\).
b)
Udowodnij, że różnica dwóch liczb o jednakowych sumach cyfr dzieli się przez \(\displaystyle{ 9}\).

3.
Wykaż, że \(\displaystyle{ 7}\) dzieli \(\displaystyle{ (2222^{5555}+5555^{2222}).}\)

4.
Dana jest liczbą \(\displaystyle{ a=4444^{4444}.}\) Oznaczmy przez \(\displaystyle{ A}\) sumę cyfr liczby \(\displaystyle{ a}\), przez \(\displaystyle{ B}\) sumę cyfr liczby \(\displaystyle{ A}\), przez \(\displaystyle{ C}\) sumę cyfr liczby \(\displaystyle{ B}\). Znajdź liczbę \(\displaystyle{ C}\).

5.
Przedstaw na wszystkie sposoby liczbę \(\displaystyle{ 132}\) w postaci sumy kolejnych liczb całkowitych dodatnich.

Poproszę o wskazówki albo rozwiązania dla tych zadań.

Z góry dziękuję za pomoc.

Dla mnie sformułowanie zadań 1., 2. i 4. jest niezrozumiałe.

JK

Cześć.
1. nie rozumiem treści. Może chodziło o \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ 2n}\)? W obecnym kształcie treści rozważ \(\displaystyle{ n=11}\).
Jeśli moje przypuszczenia są słuszne, to wystarczy skorzystać z lematu z szóstej klasy podstawówki: oznaczmy sumę cyfr liczby \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ S(n)}\); wtedy \(\displaystyle{ n\equiv S(n)\pmod{9}}\)
2. Jedziesz z tej samej własności, co wyżej.
3. Małe twierdzenie Fermata. Dla ułatwienia rachunków: \(\displaystyle{ 2222=2100+119+3=7k+3}\) i wzór dwumianowy Newtona. Podobnież \(\displaystyle{ 5555=4900+651+4=7l+4}\) i wzór dwumianowy Newtona. Zadanie sprowadza się do spr. reszty z dzielenia przez siedem sumy \(\displaystyle{ 3^{5555}+4^{2222}}\) ->MTF dla każdego składnika z osobna.-- 10 lut 2016, o 17:33 --Ad. 2 No właśnie, zaraz, spojrzałem na punkt b) i podzielam wątpliwości Pana
Kraszewskiego, pytam: czym różni się liczba o tych samych cyfrach od liczby o jednakowych cyfrach???

Przepraszam, tak chodziło o 2n w zadaniu pierwszym.

Premislav, mikoarm ma 13 lat. To jest co najwyżej pierwsza liceum...jeśli nie 6 podstawówki.
Ty miałeś w tych klasach \(\displaystyle{ n\equiv S(n)\pmod{9}}\) i małe twierdzenie Fermata?

To pierwsze miałem dokładnie w szóstej klasie (a chodziłem do zupełnie zwykłej szkoły i nauczycielka też była przeciętna), tylko bez tego zapisu: suma cyfr liczby naturalnej daje taką samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 9}\), jak ta liczba. Poza tym wiek na forum jest często wpisywany przypadkowo/na odwal, więc szczerze powiedziawszy, od dłuższego czasu odpowiadając w tematach w ogóle nie patrzę na to pole. I na pewno nie będę patrzyć, co najwyżej jeśli twórca wątku napisze, że czegoś nie wie, to albo odeślę do źródeł, albo przedstawię inną metodę.

No to trzecie bez małego twierdzenia Fermata:
pokazałem, jak ze wzoru dwumianowego sprowadzić problem do obliczenia reszty z dzielenia przez siedem liczby \(\displaystyle{ 3^{5555}+4^{2222}}\). To teraz można zauważyć, że \(\displaystyle{ 3^{6}=729}\), co daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 7}\), a mamy \(\displaystyle{ 3^{5555}=3^{6\cdot 925 +5}}\). I podobnie z czwórką, \(\displaystyle{ 4^{3}}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 7}\).-- 10 lut 2016, o 17:57 --Aha, niektórzy ludzie w pierwszej liceum wiedzą więcej z matematyki, niż ja kiedykolwiek będę wiedział, więc też takie patrzenie na umiejętności przez pryzmat wieku nie zawsze okazuje się słusznym.

Wiem, że reszta z dzielenia przez 9 danej liczby jest taka sama jak z jej sumy cyfr, ale nie rozumiem, jak można to wykorzystać w tych zadaniach.

Czy chodzi o to, że różnica takich samych sum cyfr jest równa 0 i przez to, że 0 dzieli się przez 9 to liczba też jest podzielna przez 9?

mikoarm pisze:Czy chodzi o to, że różnica takich samych sum cyfr jest równa 0 i przez to, że 0 dzieli się przez 9 to liczba też jest podzielna przez 9?

Tak.

4. Mógłbyś wyjaśnić, co ma oznaczać ta treść, mikoarm? Czy przepisałeś polecenie słowo w słowo? Bo jeśli tak, to niestety wyszło coś a la czym się różni wróbelek.

Zamiast pierwszego A powinno być a. Poprawione. Czy teraz już wiadomo o co chodzi?

Tak, teraz wiadomo. Bardzo ładne zadanie, tylko że chwilowo nie mam pomysłu, jak je rozwiązać.

Co do zadania numer 3, to rozumiem, że \(\displaystyle{ 3^{5555} + 4^{2222}}\) ma taką samą resztę co
\(\displaystyle{ 2222^{5555} + 5555^{2222}}\) z dzielenia przez 7, ale dalej niestety nie. Co z tego, że \(\displaystyle{ 3^{6}}\) i \(\displaystyle{ 4^{3}}\) mają reszty równe 1?

Możemy zapisać \(\displaystyle{ 3^{5555}=3^{6\cdot 925+5}=3^{5}\cdot( 3^{6})^{925}}\). Skorzystałem tu z własności \(\displaystyle{ (a^{b})^{c}=a^{bc}}\) i \(\displaystyle{ a^{b+c}=a^{b}\cdot a^{c}}\) Skoro \(\displaystyle{ 3^{6}}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 7}\), to \(\displaystyle{ (3^{6})^{925}}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1\cdot1...\cdot 1=1}\)(dziewięćset dwadzieścia pięć jedynek) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 7}\).
No i wystarczy, że policzymy resztę \(\displaystyle{ 3^{5}}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 7}\)- to już można na piechotę, np. pod kreską. Korzystam tu z ważnej własności, że dla \(\displaystyle{ a,b,c}\) całkowitych dodatnich reszta z dzielenia iloczynu \(\displaystyle{ a\cdot b}\) przez \(\displaystyle{ c}\) jest taka sama, jak iloczyn reszty z dzielenia \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ c}\) i reszty z dzielenia \(\displaystyle{ b}\) przez \(\displaystyle{ c}\).
Podobnie \(\displaystyle{ 4^{2222}=4^{3\cdot 740} \cdot 4^{2}}\) i postępujemy tak samo.

Chodzi o to, że reszta z dzielenia przez \(\displaystyle{ 7}\) (\(\displaystyle{ 1 \cdot 4^{2}}\)) równa się \(\displaystyle{ 2,}\) a (\(\displaystyle{ 1 \cdot 3^{5}}\)) równa się \(\displaystyle{ 5}\) i \(\displaystyle{ 5+2=7}\), z czego wynika, że liczba wejściowa jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7}\)?
Dobrze mówię?

Tak, dokładnie.

Dzięki wielkie!
Czy wyjaśnisz jescze jak znaleźć wszystkie sposoby na przedstawienie danej liczby w postaci sumy kolejnych liczb (zad.5) ?