Matematyka.pl

Wyznacz wszystkie liczby wymierne \(\displaystyle{ x}\) dla których liczba postaci \(\displaystyle{ x + \frac{1}{x}}\) jest liczbą naturalną.

Na pewno będzie to 1, ale jak wyznaczyć wszystkie ?

Wydaje mi się, że ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) dla żadnego iksa naturalnego (oprócz jedynki) nie będzie liczbą naturalną.

A bez wydaje mi się ?:)

Jeżeli \(\displaystyle{ x = a : b}\), to

\(\displaystyle{ \frac ab+\frac ba = k \iff a^2 + b^2 = abk}\).

Wynika stąd, że \(\displaystyle{ a \mid b^2}\) oraz \(\displaystyle{ b \mid a^2}\). Możesz założyć, że \(\displaystyle{ a, b}\) nie mają wspólnych czynników. Oznacza to, że \(\displaystyle{ a, b = \pm 1}\) (sprawdzić!).

Trochę skomplikowana odpowiedź, jak na zadanie z podstawy programowej dla liceum.

Chewbacca97 pisze:Wydaje mi się, że ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) dla żadnego iksa naturalnego (oprócz jedynki) nie będzie liczbą naturalną.

ale dla liczb wymiernych będzie, a taką jest \(\displaystyle{ x}\) ( umieszczam ten komentarz zakładając, że autor nie edytował danych. )
Rozpatrzmy wielomian \(\displaystyle{ W\left( x\right) =\left( x-a\right)\left( x- \frac{1}{a} \right)= x^{2} - x\left( a+ \frac{1}{a} \right) + 1}\), o pierwiastkach wymiernych \(\displaystyle{ a, \frac{1}{a}}\). Zauważmy, że ma on wszystkie współczynniki całkowite oraz przy najwyższej potędze współczynnik równy \(\displaystyle{ 1}\), a stąd z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu mamy, że muszą one być liczbami całkowitymi. Mówi nam to, że liczby \(\displaystyle{ a , \frac{1}{a}}\) muszą być całkowite, czyli \(\displaystyle{ a}\) musi być całkowite i \(\displaystyle{ \frac{1}{a}}\), wynika stąd, że \(\displaystyle{ a = \pm 1}\). W naturalnych \(\displaystyle{ a = 1}\).