Wyrażenia algebraiczne_dzielenie z resztą.
Wyrażenia algebraiczne_dzielenie z resztą.
Zastanawiam się nad rozwiązanie pewnego zadania. Czy poniższe uzasadnienie jest wystarczające, a zarazem poprawne matematycznie? Proszę o opinię na ten temat.
Resztą z dzielenia pewnej liczby \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ 3}\) jest \(\displaystyle{ 2}\). Wykaż, że jeśli do kwadratu liczby \(\displaystyle{ n}\) dodamy \(\displaystyle{ 2}\), to otrzymamy liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\).
Na mocy podanych informacji można przyjąć, że \(\displaystyle{ n:3=a\ r\ 2}\), skąd \(\displaystyle{ n=3 \cdot a+2}\) (\(\displaystyle{ a, n}\) - liczby naturalne).
Zapisujemy wyrażenie będące kwadratem liczby \(\displaystyle{ n}\) powiększonym o \(\displaystyle{ 2}\):
\(\displaystyle{ (3a+2)^{2}+2=9a^{2}+12a+4+2=9a^{2}+12a+6=3(3a^{2}+4a+2)}\)
Wyrażenie \(\displaystyle{ (3a+2)^{2}+2}\) można zapisać w postaci \(\displaystyle{ 3(3a^{2}+4a+2)}\), co oznacza, że kwadrat liczby \(\displaystyle{ n}\) powiększony o \(\displaystyle{ 2}\) jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\).
Resztą z dzielenia pewnej liczby \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ 3}\) jest \(\displaystyle{ 2}\). Wykaż, że jeśli do kwadratu liczby \(\displaystyle{ n}\) dodamy \(\displaystyle{ 2}\), to otrzymamy liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\).
Na mocy podanych informacji można przyjąć, że \(\displaystyle{ n:3=a\ r\ 2}\), skąd \(\displaystyle{ n=3 \cdot a+2}\) (\(\displaystyle{ a, n}\) - liczby naturalne).
Zapisujemy wyrażenie będące kwadratem liczby \(\displaystyle{ n}\) powiększonym o \(\displaystyle{ 2}\):
\(\displaystyle{ (3a+2)^{2}+2=9a^{2}+12a+4+2=9a^{2}+12a+6=3(3a^{2}+4a+2)}\)
Wyrażenie \(\displaystyle{ (3a+2)^{2}+2}\) można zapisać w postaci \(\displaystyle{ 3(3a^{2}+4a+2)}\), co oznacza, że kwadrat liczby \(\displaystyle{ n}\) powiększony o \(\displaystyle{ 2}\) jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\).
Ostatnio zmieniony 4 mar 2018, o 16:07 przez niuka_25, łącznie zmieniany 3 razy.
Wyrażenia algebraiczne_dzielenie z resztą.
Zastanawiam się, czy nie potrzeba przyjąć innego założenia, jeżeli chodzi o \(\displaystyle{ a}\) lub \(\displaystyle{ n}\).
Czy \(\displaystyle{ a, n}\) mają być faktycznie liczbami naturalnymi, całkowitymi, czy może jedna z nich powinna być naturalna, natomiast druga całkowita. Czy może jeszcze inaczej należy przyjąć? Proszę o poradę . . .
Czy \(\displaystyle{ a, n}\) mają być faktycznie liczbami naturalnymi, całkowitymi, czy może jedna z nich powinna być naturalna, natomiast druga całkowita. Czy może jeszcze inaczej należy przyjąć? Proszę o poradę . . .
Ostatnio zmieniony 4 mar 2018, o 15:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
-
- Administrator
- Posty: 34493
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5222 razy
Re: Wyrażenia algebraiczne_dzielenie z resztą.
Zadanie nie precyzuje, czy \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną, czy całkowitą, więc założenie, że jest liczbą naturalną nie jest nadużyciem. Wówczas również \(\displaystyle{ a}\) jest naturalna i jest w porządku (ale gdybyś napisała, że istnieje całkowite \(\displaystyle{ a}\), to byłoby tak samo dobrze).
Oczywiście zawsze można postarać się zrobić dowód w największej możliwej ogólności, czyli dla \(\displaystyle{ n}\) całkowitego. Wtedy trzeba zaznaczyć, że istnieje \(\displaystyle{ a}\) całkowite o stosownej własności.
JK
Oczywiście zawsze można postarać się zrobić dowód w największej możliwej ogólności, czyli dla \(\displaystyle{ n}\) całkowitego. Wtedy trzeba zaznaczyć, że istnieje \(\displaystyle{ a}\) całkowite o stosownej własności.
JK
Wyrażenia algebraiczne_dzielenie z resztą.
Dziękuję za informację. W takim razie przyjmę, że \(\displaystyle{ a, n}\) - liczby całkowite, zwłaszcza, że dla liczb ujemnych również możemy wykonywać dzielenie z resztą.
Ostatnio zmieniony 4 mar 2018, o 16:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
-
- Administrator
- Posty: 34493
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5222 razy
Re: Wyrażenia algebraiczne_dzielenie z resztą.
Dokładniej: przyjmujesz, że \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą całkowitą i dla tej liczby stwierdzasz (na podstawie treści zadania) istnienie liczby całkowitej \(\displaystyle{ a}\) takiej, że \(\displaystyle{ n=3a+2}\).
JK
JK
Wyrażenia algebraiczne_dzielenie z resztą.
Czyli początek zadania powinien być sformułowany następująco?
Przyjmujemy, że \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą całkowitą i dla tej liczby stwierdzamy (na podstawie treści zadania) istnienie liczby całkowitej \(\displaystyle{ a}\) takiej, że \(\displaystyle{ n:3=a\ r\ 2}\), skąd \(\displaystyle{ n=3 \cdot a+2}\).
Przyjmujemy, że \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą całkowitą i dla tej liczby stwierdzamy (na podstawie treści zadania) istnienie liczby całkowitej \(\displaystyle{ a}\) takiej, że \(\displaystyle{ n:3=a\ r\ 2}\), skąd \(\displaystyle{ n=3 \cdot a+2}\).
Ostatnio zmieniony 4 mar 2018, o 16:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
-
- Administrator
- Posty: 34493
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5222 razy
Re: Wyrażenia algebraiczne_dzielenie z resztą.
Ja bym napisał
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą całkowitą, która przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\) daje resztę \(\displaystyle{ 2}\). Wtedy istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ a}\) taka, że \(\displaystyle{ n=3 \cdot a+2.}\)
JK
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą całkowitą, która przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\) daje resztę \(\displaystyle{ 2}\). Wtedy istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ a}\) taka, że \(\displaystyle{ n=3 \cdot a+2.}\)
JK
Wyrażenia algebraiczne_dzielenie z resztą.
Czyli w takim razie poniższe rozwiązanie jest ostateczne i poprawne?
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą całkowitą, która przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\) daje resztę \(\displaystyle{ 2}\). Wtedy istnieje liczba liczba całkowita \(\displaystyle{ a}\) taka, że \(\displaystyle{ n=3 \cdot a+2}\).
Zapisujemy wyrażenie będące kwadratem liczby \(\displaystyle{ n}\) powiększonym o \(\displaystyle{ 2}\):
\(\displaystyle{ (3a+2)^{2}+2=9a^{2}+12a+4+2=9a^{2}+12a+6=3(3a^{2}+4a+2)}\)
Wyrażenie \(\displaystyle{ (3a+2)^{2}+2}\) można zapisać w postaci \(\displaystyle{ 3(3a^{2}+4a+2)}\), co oznacza, że kwadrat liczby \(\displaystyle{ n}\) powiększony o \(\displaystyle{ 2}\) jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\).
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą całkowitą, która przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\) daje resztę \(\displaystyle{ 2}\). Wtedy istnieje liczba liczba całkowita \(\displaystyle{ a}\) taka, że \(\displaystyle{ n=3 \cdot a+2}\).
Zapisujemy wyrażenie będące kwadratem liczby \(\displaystyle{ n}\) powiększonym o \(\displaystyle{ 2}\):
\(\displaystyle{ (3a+2)^{2}+2=9a^{2}+12a+4+2=9a^{2}+12a+6=3(3a^{2}+4a+2)}\)
Wyrażenie \(\displaystyle{ (3a+2)^{2}+2}\) można zapisać w postaci \(\displaystyle{ 3(3a^{2}+4a+2)}\), co oznacza, że kwadrat liczby \(\displaystyle{ n}\) powiększony o \(\displaystyle{ 2}\) jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\).
Ostatnio zmieniony 4 mar 2018, o 17:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
-
- Administrator
- Posty: 34493
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5222 razy
Wyrażenia algebraiczne_dzielenie z resztą.
Dziękuję bardzo!-- 4 mar 2018, o 21:55 --Czyli tutaj w takim razie na samym końcu po przecinku można dopisać "do należało dowieść"?