Matematyka.pl

Jak rozwiązać poniższe zadanie?

Zad. 1
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ n \ge 3}\) jest liczbą naturalną, to liczba \(\displaystyle{ \sqrt{n^{2}-4 }}\) jest niewymierna.

Pierwsze, co przyszło mi do głowy, to indukcja matematyczna.
Dla \(\displaystyle{ n=3}\) zgadza się.
Załóżmy, że zgadza się dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego.
Pokażemy, że dla \(\displaystyle{ n+1}\) też jest ok.
Wiemy, że \(\displaystyle{ \sqrt{n^{2}-4 }}\) jest niewymierną.
Czy \(\displaystyle{ \sqrt{(n+1)^{2}-4 }}\) jest też niewymierna?
I teraz nie mam pomysłu. Nie wierzę, że dowód podobny do dowodu niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) ma tutaj jakiekolwiek zastosowanie. Co dalej zrobić?

Indukcja to nie jest dobry pomysł.

Udowodnij, że równanie \(\displaystyle{ n^2-4=k^2}\) nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ n,k}\) (dla \(\displaystyle{ n\ge 3}\)).

JK

Dziękuję za odpowiedź.
Faktycznie wystarczy przenieść \(\displaystyle{ k}\) na lewą stronę równania, skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów, wybrać kandydatów na liczby spełniające równanie i spróbować rozwiązać układy równań, które okażą się sprzeczne.

I trzeba jeszcze skorzystać z twierdzenia, które orzeka, że pierwiastek z liczby całkowitej jest całkowity lub niewymierny. Prawda?

Prawda