Matematyka.pl

Mam udowodnić, że

\(\displaystyle{ \forall_{x,y,z \in \mathbb{Z}_+}NWD(x,NWW(y,z))=NWW(NWD(x,y),NWD(x,z))}\)

Niestety, nie mam pojęcia jak to zrobić...

Niestety, ale dalej nie mam pojęcia jak to rozpisać.
Te wskazówki niczego mi nie mówią. Nie potrafię wyciągnąć tego \(\displaystyle{ x}\)'a i \(\displaystyle{ NWW(y,z)}\).

Jednak kierowałbym się wiki

Widziałem post przed edycją i tam mi nie pasowało kilka przejść.

Muszę się dopytać chyba, czy mogę skorzystać w jakiś sposób z łączności.

Moim błędem jest to, że nie powiedziałem do końca o co mi chodzi.
Muszę udowodnić, że \(\displaystyle{ (\mathbb{Z}_{+}, | )}\) jest kratą dystrybutywną.
Pokazałem to, wykorzystując twierdzenie o izomorfizmie krat, ale miałem nadzieję, że będzie to też wykonalne "wprost" z własności NWW i NWD.
Jednak im bardziej się w to wgłębiam tym mniej mi się to podoba.

Co do dowodu tej równości, to może ktoś wpadnie na jakiś ciekawy pomysł, w przeciwnym wypadku może Pan mol_ksiazkowy, poda zródło w którym widział dowód.
Co do edycji, to prowadzi ona do

W książce W. Marek, J. Onyszkiewicz "Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach", autorzy udowadniają własność:
\(\displaystyle{ NWW(a, NWD(a,b)) = a}\)
\(\displaystyle{ NWD(a, NWW(a,b) = a}\)
w następujący sposób:

Ponieważ \(\displaystyle{ x|NWW(x,y)}\) oraz \(\displaystyle{ x|y \Rightarrow [(NWD(x,y)=x)\wedge NWW(x,y)=y]}\) zatem i aksjomat L4 jest prawdziwy.
Podobnie dowodzimy prawdziwości aksjomatu L5.

Przy czym L4 oznacza te własności, napisałem na początku tego postu, a L5 tyczy się mojego pytania w temacie tej konwersacji.
Myślałem, czy by się nie dało z tego jakoś skorzystać.

Jeszcze nad tym pomyślę.

Oczywiście działają takie pomysły jak nazwanie jakoś największego wspólnego dzielika wszystkich trzech liczb i korzystanie z własności \(\displaystyle{ NWL\left(dx, dy\right)=d\cdot NWL\left(x, y\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ L\in \left\{ D, W\right\}}\).

Ponewor, dowiedziałem się wczoraj, że nie da się tego obejść bez wykorzystania wykładnika \(\displaystyle{ p}\)-adycznego.
Ale dzięki za pomoc

Da się. Wystarczy zrobić tak jak mówię.