Wykaż że wyrażenie jest podzielne przez 5
-
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 19 maja 2017, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: tutaj
- Podziękował: 1 raz
Wykaż że wyrażenie jest podzielne przez 5
Witam
Mam do wykazania że pewne wyrażenie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) rzeczywistego.
Problematycznym wyrażeniem jest:
\(\displaystyle{ k \cdot (k+1) \cdot (k+9) \cdot (k^2-1)}\)
Wiem że aby wykazać podzielność muszę całość doprowadzić do postaci \(\displaystyle{ 5 \cdot [wyrazenie]}\) czyli uzyskać pewne (znów) wyrażenie takie że czynnik przed każdą potęgą można zapisać jako \(\displaystyle{ 5 \cdot n}\), potem tę \(\displaystyle{ 5}\) wyciągnąć i powinno pstryknąć.
Łatwiej pisać niż zrobić, próbowałem wszystko wymnożyć ale uzyskałem taki wielomian że nie sposób wyciągnąć piątki przed nawias tak jak planowałem.
Forumowicze, potrzebuję innego pomysłu rachunkowego, czy możecie coś zasugerować?
Pozdrawiam
Mam do wykazania że pewne wyrażenie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) rzeczywistego.
Problematycznym wyrażeniem jest:
\(\displaystyle{ k \cdot (k+1) \cdot (k+9) \cdot (k^2-1)}\)
Wiem że aby wykazać podzielność muszę całość doprowadzić do postaci \(\displaystyle{ 5 \cdot [wyrazenie]}\) czyli uzyskać pewne (znów) wyrażenie takie że czynnik przed każdą potęgą można zapisać jako \(\displaystyle{ 5 \cdot n}\), potem tę \(\displaystyle{ 5}\) wyciągnąć i powinno pstryknąć.
Łatwiej pisać niż zrobić, próbowałem wszystko wymnożyć ale uzyskałem taki wielomian że nie sposób wyciągnąć piątki przed nawias tak jak planowałem.
Forumowicze, potrzebuję innego pomysłu rachunkowego, czy możecie coś zasugerować?
Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 25 lut 2018, o 14:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Administrator
- Posty: 34492
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5222 razy
Wykaż że wyrażenie jest podzielne przez 5
Z takim zadaniem to ja też miałbym problem. Ale jeśli ograniczymy się do \(\displaystyle{ k}\) naturalnych (lub całkowitych), to coś da się wymyślić.123qwerty123 pisze:Mam do wykazania że pewne wyrażenie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) rzeczywistego.
Problematycznym wyrażeniem jest:
\(\displaystyle{ k \cdot (k+1) \cdot (k+9) \cdot (k^2-1)}\)
Rozpatrz kilka przypadków ze względu na to, jaką resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\) daje liczba \(\displaystyle{ k}\).123qwerty123 pisze:Forumowicze, potrzebuję innego pomysłu rachunkowego, czy możecie coś zasugerować?
JK
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Wykaż że wyrażenie jest podzielne przez 5
Teza zadania jest fałszywa (nawet po zastąpieniu rzeczywistych naturalnymi), rozważmy \(\displaystyle{ k=7}\).
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4106
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 82 razy
- Pomógł: 1410 razy
Re: Wykaż że wyrażenie jest podzielne przez 5
Nie wczytywałem się, ale to zadanie jest łudząco podobne do tego \(\displaystyle{ \rightarrow}\)klik.-- 25 lut 2018, o 15:28 --oczywiście po uwzględnieniu poprawek Jan Kraszewski i Premislava.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Wykaż że wyrażenie jest podzielne przez 5
Czyli prawdopodobnie źle przepisane, miało być \(\displaystyle{ k\left( k+1\right)\left( k+9\right)\left( k ^{2}+1 \right)}\). Zaproponuję w takim razie rozwiązanie bez indukcji: zauważmy, że
\(\displaystyle{ k\left( k+1\right)\left( k+9\right)\left( k ^{2}+1 \right)=\\=k\left( k+1\right)\left( k-1+10\right)\left( k ^{2}-4+5 \right)=\\=10k(k+1)(k^2+1)+5(k-1)k(k+1)+(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)}\)
i wszystkie trzy składniki są podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\) (dwa pierwsze w sposób oczywisty, trzeci jako iloczyn kolejnych pięciu liczb całkowitych), co kończy dowód.
\(\displaystyle{ k\left( k+1\right)\left( k+9\right)\left( k ^{2}+1 \right)=\\=k\left( k+1\right)\left( k-1+10\right)\left( k ^{2}-4+5 \right)=\\=10k(k+1)(k^2+1)+5(k-1)k(k+1)+(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)}\)
i wszystkie trzy składniki są podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\) (dwa pierwsze w sposób oczywisty, trzeci jako iloczyn kolejnych pięciu liczb całkowitych), co kończy dowód.
- Rafsaf
- Użytkownik
- Posty: 466
- Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 80 razy
Re: Wykaż że wyrażenie jest podzielne przez 5
Można też ostatecznie machaniem rękami tak jak w szkole mnie uczyli czyli
1) niech \(\displaystyle{ k=5m+1}\) i \(\displaystyle{ m \in C}\)
2) niech \(\displaystyle{ k=5m+2}\) i \(\displaystyle{ m \in C}\)
itd.
I po kolei wstawiasz to tego poprawionego przez Premislava równania:
\(\displaystyle{ k\left( k+1\right)\left( k+9\right)\left( k ^{2}+1 \right)}\)
Potem mnożysz ten koszmar i wyciągasz 5 przed nawias.
Choć z kongruencji będzie dużo sprawniej
1) niech \(\displaystyle{ k=5m+1}\) i \(\displaystyle{ m \in C}\)
2) niech \(\displaystyle{ k=5m+2}\) i \(\displaystyle{ m \in C}\)
itd.
I po kolei wstawiasz to tego poprawionego przez Premislava równania:
\(\displaystyle{ k\left( k+1\right)\left( k+9\right)\left( k ^{2}+1 \right)}\)
Potem mnożysz ten koszmar i wyciągasz 5 przed nawias.
Choć z kongruencji będzie dużo sprawniej
Ostatnio zmieniony 25 lut 2018, o 15:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: po kolei.
Powód: Poprawa wiadomości: po kolei.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4106
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 82 razy
- Pomógł: 1410 razy
Re: Wykaż że wyrażenie jest podzielne przez 5
Rafsaf a żeby nie robić tego dla \(\displaystyle{ 1)}\) potem \(\displaystyle{ 2)}\) i tak dalej... można spróbować podstawić \(\displaystyle{ k=5m+r}\) gdzie \(\displaystyle{ r\in\left\{ 0,1,2,3,4\right\}}\) i powinno być widać że niezależnie od \(\displaystyle{ r}\) zachodzi teza. Więc 5 przypadków sprowadzimy do jednego ogólniejszego. Ale nie liczyłem więc może coś po drodze wyskoczy niespodziewanego. Trzeba wstawić i policzyć.
-
- Administrator
- Posty: 34492
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5222 razy
Re: Wykaż że wyrażenie jest podzielne przez 5
Ale po co?! Wstawianie to najgorsza możliwa realizacja tej metody. W każdym z przypadków wystarczy wskazać, który czynnik iloczynu jest podzielny przez \(\displaystyle{ 5}\):Rafsaf pisze:Można też ostatecznie machaniem rękami tak jak w szkole mnie uczyli czyli
1) niech \(\displaystyle{ k=5m+1}\) i \(\displaystyle{ m \in C}\)
2) niech \(\displaystyle{ k=5m+2}\) i \(\displaystyle{ m \in C}\)
itd.
I po kolei wstawiasz to tego poprawionego przez Premislava równania:
\(\displaystyle{ k\left( k+1\right)\left( k+9\right)\left( k ^{2}+1 \right)}\)
Potem mnożysz ten koszmar i wyciągasz 5 przed nawias.
Dla \(\displaystyle{ k=5m}\) podzielny przez \(\displaystyle{ 5}\) jest czynnik \(\displaystyle{ k}\).
Dla \(\displaystyle{ k=5m+1}\) podzielny przez \(\displaystyle{ 5}\) jest czynnik \(\displaystyle{ k+9}\).
itd.
JK
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Wykaż że wyrażenie jest podzielne przez 5
Z odrobiną teorii można sobie poradzić jeszcze szybciej:
\(\displaystyle{ k\left( k+1\right)\left( k+9\right)\left( k ^{2}+1 \right)=k(k^2+10k+9)(k^2+1)=\\=k(k^2-1+10k+10)(k^2+1)=k(k^4-1)+{\red 10}k(k+1)(k^2+1)}\)
i jeśli \(\displaystyle{ 5\nmid k}\), to z małego tw. Fermata \(\displaystyle{ 5|k^4-1}\), zaś suma liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 5}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 5}\), a jeśli \(\displaystyle{ 5|k}\), to teza jest oczywista.
\(\displaystyle{ k\left( k+1\right)\left( k+9\right)\left( k ^{2}+1 \right)=k(k^2+10k+9)(k^2+1)=\\=k(k^2-1+10k+10)(k^2+1)=k(k^4-1)+{\red 10}k(k+1)(k^2+1)}\)
i jeśli \(\displaystyle{ 5\nmid k}\), to z małego tw. Fermata \(\displaystyle{ 5|k^4-1}\), zaś suma liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 5}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 5}\), a jeśli \(\displaystyle{ 5|k}\), to teza jest oczywista.
- Rafsaf
- Użytkownik
- Posty: 466
- Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 80 razy
Re: Wykaż że wyrażenie jest podzielne przez 5
Jan Kraszewski przyznaję że po zastanowieniu moja podpowiedź by to mnożyć jest beznadziejna, pewnie bym to sam sobie uświadomił gdybym robił to na kartce a tak w głowie to widać jak wygląda moje rozwiązywanie zadań z matematyki...
-
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 19 maja 2017, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: tutaj
- Podziękował: 1 raz
Wykaż że wyrażenie jest podzielne przez 5
Słusznie piszecie, źle przepisałem, dział to liczby rzeczywiste a \(\displaystyle{ k}\) ma być całkowite.
Dziękuje za odpowiedzi, zabieram się za analizę tego co napisaliście:)
Dziękuje za odpowiedzi, zabieram się za analizę tego co napisaliście:)
Ostatnio zmieniony 25 lut 2018, o 16:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.