Matematyka.pl

Prosiłabym o sprawdzenie rozwiązania pod kątem poprawności konkursowej, tzn. chciałabym wiedzieć, czy rozwiązanie byłoby uznane na konkursie.

Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ 2^{2000} - 2 ^{4}}\) jest podzielna przez 240.


\(\displaystyle{ 240 = 2\cdot 2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2 ^{4} \cdot 15

2^{2000} - 2 ^{4} = 2 ^{4} (2 ^{1996} - 1)}\)
liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2 ^{4}}\)

\(\displaystyle{ 2 ^{4} (2 ^{1996} - 1) = 16 \cdot 2 ^{1996} - 16 = 15 \cdot 2 ^{1996}}\)
liczba jest więc podzielna przez 15

Skorzystaj raczej z faktu, że:
\(\displaystyle{ a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1})}\)
Wychodzi natychmiast.

\(\displaystyle{ 2 ^{1996} - 1}\)
ta liczba musi być podzielna przez 15.

\(\displaystyle{ 2^{1996} =1 (mod 15)}\)
\(\displaystyle{ ( 2^{4} )^{499} =1 (mod 15)}\)
\(\displaystyle{ (16)^{499} =1 (mod 15)}\)
\(\displaystyle{ (1)^{499} =1 (mod 15)}\)
\(\displaystyle{ 1 =1 (mod 15)}\)

Koniec