Matematyka.pl

Wykaż, że jeśli dla całkowitych \(\displaystyle{ x,y}\) liczba \(\displaystyle{ \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}}\) jest całkowita to \(\displaystyle{ \frac{x^2}{y}}\) jest całkowite. Proszę o jakieś wskazówki, ale wolałbym to zrobić innym sposobem niż ten z trójmianem.

Pobaw się na wykładnikach p-adycznych, szybko wychodziło.

Próbowałem o nich poczytać, ale jest o nich niewiele w internecie, a jak już coś się znajdzie to jest tak zawile wytłumaczone, że trudno jest mi to sobie wyobrazić...

Nie mam pojęcia jak to udowodnić, próbowałem rozłożyć różnicę sześcianów na iloczyn ale niewiele mi to dało...

\(\displaystyle{ (xy)^2|4(xy)^3}\), więc \(\displaystyle{ (xy)^2|(x^3-y^3)^2}\). A więc mamy, że \(\displaystyle{ xy|x^3+y^3}\) oraz \(\displaystyle{ xy|x^3-y^3}\). Zatem \(\displaystyle{ y|2x^2}\) oraz \(\displaystyle{ x|2y^2}\). Zatem \(\displaystyle{ 2x^2=ky}\) oraz \(\displaystyle{ 2y^2=lx}\), gdzie \(\displaystyle{ k,l \in \ZZ}\). Po wymnożeniu stronami dostajemy, że \(\displaystyle{ 4|kl}\), tylko nie wiem jak to dalej ruszyć.

Więc druga też musi być, bo podstawiając do wyjściowej równości \(\displaystyle{ \frac{k+l}{2}}\) jest całkowite, zatem jedna i druga liczba daję tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 2}\). A więc \(\displaystyle{ 2x^2=ky=2my}\), gdzie \(\displaystyle{ m \in \ZZ}\) a więc \(\displaystyle{ \frac{x^2}{y}=\frac{my}{y}=m}\), co kończy dowód. Dzięki za pomoc!

A z wykładników p-adycznych: