Matematyka.pl

Ile różnych reszt można otrzymać dzieląc kwadrat dodatniej liczby naturalnej przez 8?

Kwadraty kolejnych liczb naturalnych:
\(\displaystyle{ 1^{2} = 1}\)
\(\displaystyle{ 2^{2} = 4}\)
\(\displaystyle{ 3^{2} = 9}\)
\(\displaystyle{ 4^{2} = 16}\)
\(\displaystyle{ 5^{2} = 25}\)
\(\displaystyle{ 6^{2} = 36}\)
\(\displaystyle{ 7^{2} = 49}\)
\(\displaystyle{ 8^{2} = 64}\)
\(\displaystyle{ 9^{2} = 81}\)
Reszty z dzielenia znalezionych liczb przez 8:

\(\displaystyle{ 1:8=0}\) r 1
\(\displaystyle{ 4:8=0}\) r 4
\(\displaystyle{ 9:8=1}\) r 1
\(\displaystyle{ 16:8=2}\) r 0
\(\displaystyle{ 25:8=3}\) r 1
\(\displaystyle{ 36:8=4}\) r 4
\(\displaystyle{ 49:8=6}\) r 1
\(\displaystyle{ 64:8=8}\) r 0

Otrzymane reszty to: \(\displaystyle{ 0, 1, 4}\).

\(\displaystyle{ (4 k)2 = 16 k2 = 8 \cdot k2 + 0}\)

↑ skąd się wzięło \(\displaystyle{ 8\cdot k2 + 0}\) Ma ktoś pomysł?

Podzielę liczby naturalne na liczby w postaci \(\displaystyle{ 4k \ , \ 4k+1 \ , \ 4k+2 \ , \ 4k+3}\) dla dowolnego naturalnego \(\displaystyle{ k}\)
a)
\(\displaystyle{ (4k)^2=16k^2=8(2k^2)=8K+0}\)
b)
\(\displaystyle{ (4k+1)^2=16k^2+8k+1=8(2k^2+k)+1=8K+1}\)
c)
\(\displaystyle{ (4k+2)^2=16k^2+16k+4=8(2k^2+2k)+4=8K+4}\)
d)
\(\displaystyle{ (4k+3)^2=16k^2+24k+9=8(2k^2+3k+1)+1=8K+1}\)
Są możliwe tylko trzy reszty: \(\displaystyle{ 0,1,4}\)

PS
Zero także zaliczam do liczb naturalnych.