Matematyka.pl

Uzasadnij, ze jesli liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{m}}\), gdzie m jest liczba naturalna, ma rozwiniecie dziesietne nieskonczone okresowe, to okres musi byc krotszy od m.

pavulon pisze:Uzasadnij, ze jesli liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{m}}\), gdzie m jest liczba naturalna, ma rozwiniecie dziesietne nieskonczone okresowe, to okres musi byc krotszy od m.

Przypadek pierwszy:
\(\displaystyle{ m}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\) ani przez \(\displaystyle{ 5}\).
Wówczas na mocy małego twierdzenia Fermata:
\(\displaystyle{ m| (10^{m-1}-1})}\)
czyli \(\displaystyle{ 10^{m-1}-1= m \cdot k}\), czyli:
\(\displaystyle{ \frac{1}{m}=\frac{k}{10^{m-1}-1} = k \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10^{(m-1)n}}}\)
to zaś oznacza, że liczba \(\displaystyle{ k}\) albo jest okresem tego ułamka, albo też okres jest jeszcze krótszy. Ale oczywiście jest \(\displaystyle{ k \leq 10^{m-1}-1}\), więc \(\displaystyle{ k}\) ma co najwyżej \(\displaystyle{ m-1}\) cyfr, więc istotnie okres jest krótszy niż \(\displaystyle{ m}\).

Przypadek drugi
Jeśli \(\displaystyle{ m=2^a\cdot 5^b \cdot m'}\) (i \(\displaystyle{ m'}\) nie jest już podzielne przez dwa ani pięć), to mamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{m} = \frac{1}{2^a}\cdot \frac{1}{5^b} \cdot \frac{1}{m'}}\)
O liczbie \(\displaystyle{ \frac{1}{m'}}\) wiemy już, że ma okres krótszy od \(\displaystyle{ m'}\), mnożenie przez odwrotności dwójki i piątki nie zmienia nam długości okresu, zatem liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{m}}\) też ma okres krótszy od \(\displaystyle{ m'}\), więc tym bardziej od \(\displaystyle{ m}\).

Q.

Witam,

Odświeżam trochę stary temat. Napotkałem powyższe zadanie w podręczniku do klasy I LO.
Niestety małego twierdzenia Fermata tam nie znalazłem jak i go nie znam. Czy jest jakiś inny sposób na uzasadnienie tego wyrażenia z m?

Przy podziale różnych \(\displaystyle{ m}\), zauważyłem, że reszty z dzielenia dla kolejnych cyfr okresu, mają wartości z zakresu od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ m-1}\). Każda reszta występuje jednokrotnie, po czym okres się kończy co oznacza, że okres jest mniejszy od \(\displaystyle{ m}\).
Np. Dla \(\displaystyle{ m = 19}\), występują wszystkie reszty od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 18}\) i okres się kończy. Nie wiem jak można opisać to matematycznie.

P.S. To mój pierwszy post, więc z góry przepraszam za mój nick, niestety regulamin przeczytałem po rejestracji. Jeśli nick jest nie do zaakceptowania mogę zmienić.

Pozdrawiam
B

Przy dzieleniu pisemnym okres zacznie się wtedy, gdy powtórzy sie taka sama reszta. A ponieważ reszt jest co najwyżej \(\displaystyle{ m}\) więc...