Matematyka.pl

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) podana liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\).

\(\displaystyle{ n( n^{2} -7)}\).

Dwa pozostałe przykłady z tego zadania zrobiłem, tylko z tym mam problem, nie mam pojęcia jak pokazać, że jest to iloczyn kolejnych trzech liczb naturalnych. :/

szw1710 pisze:Zapisz tak: \(\displaystyle{ n(n^2-7)=n\bigl((n^2-1)-6\bigr)=n\bigl((n-1)(n+1)-6\bigr)}\). Przeprowadzenie drobnego rozumowania daje natychmiastową odpowiedź.

Mógłbyś napisać to rozumowanie?
np. Dla \(\displaystyle{ n(n-5)}\) Mimo, że występuje liczba \(\displaystyle{ 5}\) w rozkładzie na czynniki to liczba nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\).

Jednozad, chodzi o to, że \(\displaystyle{ n\bigl((n-1)(n+1)-6\bigr) = (n-1)n(n+1) - 6n}\). Pierwszy wyraz jest podzielny przez \(\displaystyle{ 6}\) z racji tego, że jest to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych.

Chewbacca97 pisze:Jednozad, chodzi o to, że \(\displaystyle{ n\bigl((n-1)(n+1)-6\bigr) = (n-1)n(n+1) - 6n}\). Pierwszy wyraz jest podzielny przez \(\displaystyle{ 6}\) z racji tego, że jest to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych.

Rozpatrzmy inny przykład. Jeżeli więc mamy \(\displaystyle{ n(6(n+1) + r)}\) to nieważne jaką liczbą jest r, ponieważ jeżeli n jest nieparzyste to n+1 już będzie parzyste, a liczba parzysta razy nieparzysta jest zawsze liczbą parzystą. Więc podane wyrażenie będzie zawsze podzielne przez 2. Czy dobrze Cię zrozumiałem?