Udowodnij, że... 3|a^2 - b^2

wojownik_1991 · Post autor: **wojownik_1991** » 20 lis 2006, o 21:09

Udowodnij, ze roznica kwadratow dwoch liczb calkowitych niepodzielnych przez 3, jest podzielna przez 3.

Poprawiłem temat. A.

Post autor: **Lorek** » 20 lis 2006, o 21:19

wsk. 1:
Kwadrat liczby całkowitej niepodzielnej przez 3, daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3.

wojownik_1991 · Post autor: **wojownik_1991** » 20 lis 2006, o 21:50

prosze o pelne rozwiazanie bo z matematyki jestem ciemniak...
biologia i chemia to moje mocne strony... (profil w LO biologiczno-farmaceutyczny)

Post autor: **kuch2r** » 20 lis 2006, o 21:55

\(\displaystyle{ a^2\equiv 1\quad (mod 3)\\b^2\equiv 1\quad(mod 3)\\a^2-b^2\equiv 0\quad (mod 3)}\)

wojownik_1991 · Post autor: **wojownik_1991** » 20 lis 2006, o 21:56

Niestety, ale watpie aby moj profesor uznal rozwiazanie ktorego jeszcze nie znamy...
Prosze o rozwiazanie inne niz metoda kongurencji...

Post autor: **Lorek** » 20 lis 2006, o 22:01

No to zacznijmy od wskazówki:
Liczbę niepodzielną przez 3 można zapisać jako
\(\displaystyle{ 3k+1\:\mbox{lub}\:3k+2}\)
a więc kwadrat tej liczby to
\(\displaystyle{ (3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1=3k_2+1\\(3k+2)^2=9k^2+12k+4=9k^2+12k+3+1=3(3k^2+4k+1)+1=3k_2+1}\)
Czyli rzeczywiście kwadrat liczby niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, można więc przyjąć
\(\displaystyle{ a^2=3m+1,\:b^2=3n+1\Leftrightarrow a^2-b^2=3m+1-(3n+1)=3m-3n=3(m-n)=3p}\)
Wszystkie użyte "litery" to dowolne liczby całkowite