Udowodnij że 19|3^18 - 2^18

KoniQ · Post autor: **KoniQ** » 9 lis 2006, o 22:20

Mam problem z tym zadaniem, bo jak narazie podzielnosc ciezko mi idzie Probowalem to zrobic analogicznie jak w poprzednim zadaniu, ktore zrobila marcia.
Tresc zadania:
Wykaz, ze liczba \(\displaystyle{ 3^{18} - 2^{18}}\) jest liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 19}\).
Nie myscie ze jestem leniem, ale naprawde podzielnosc (zadania na udawadnianie) sprawia mi spory klopot... Mysle, ze jeszcze to zadanie pomozecie mi rozwiazac, a potem postaram sie to zrozumiec dokladnie i nastepne zadania tej tematyki bede rozwiazywal z zamknietymi oczami

Post autor: **Lorek** » 9 lis 2006, o 22:27

\(\displaystyle{ 3^{18}-2^{18}=(3^9-2^9)(3^9+2^9)=[(3^3)^3-(2^3)^3](3^9+2^9)=\\=(3^3-2^3)(3^6+6^3+2^6)(3^9+2^9)=19\underbrace{(3^6+6^3+2^6)(3^9+2^9)}_{k}=19k}\)

Post autor: **Tristan** » 9 lis 2006, o 22:32

A ja sobię znów pozwolę na wersję z modulo
\(\displaystyle{ 3^3=27, 2^3=8}\)
\(\displaystyle{ 3^3 \equiv 2^3 ( mod\ 19)}\) -podnoszę obustronnie do potęgi szóstej
\(\displaystyle{ 3^{18} \equiv 2^{18} ( mod\ 19)}\)
Czyli istotnie \(\displaystyle{ 19 | 3^{18} - 2^{18}}\). Ogólnie rozwiązania na kongruencjach są szybkie i przyjemne, więc polecam Ci KoniQu zapoznanie się z nimi, np. .